NCERT Class 5 Maths Solutions in Hindi (Ganit Mela)

कक्षा 5 (हिंदी माध्यम) की NCERT गणित पाठ्यपुस्तक गणित मेला के सभी 15 अध्यायों के प्रश्नों के हल नीचे दिए गए हैं। सभी प्रश्न NCERT की आधिकारिक पाठ्यपुस्तक (पुनर्मुद्रण 2026-27) से लिए गए हैं और हर उत्तर में हल करने का तरीका भी समझाया गया है। जिन प्रश्नों का उत्तर पुस्तक के चित्र, मानचित्र या आलेख पर निर्भर है, वहाँ हल करने की विधि दी गई है ताकि बच्चा पुस्तक देखकर स्वयं उत्तर निकाल सके।

अध्याय 1: हम हैं यात्री – 1 — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में यात्रा के संदर्भ में 10,000 और उससे बड़ी (5-अंकीय) संख्याओं को पढ़ना-लिखना, उनकी तुलना करना, निकटतम दहाई/सैकड़ा/हजार तक पूर्णांकन (rounding) और कुछ रोचक पहेलियाँ सिखाई गई हैं।

मुख्य बात: 9,000 + 1,000 = 10,000 (दस हजार)। स्थानीय मान सारणी में नया खाना द.ह. (दस हजार) जुड़ता है: 10 इकाई = 1 दहाई, 10 दहाई = 1 सैकड़ा, 10 सैकड़े = 1 हजार, 10 हजार = 1 दस हजार।

आइए करें – प्रश्न 1: प्रतिरूप (पैटर्न) आगे बढ़ाइए

हर क्रम में पहले देखें कि अगली संख्या पाने के लिए कितना जोड़ा या घटाया गया है:

• (a) 456, 567, 678 → हर बार +111 → 789, 890
• (b) 1,050 के गुणज: 1,050, 2,100, 3,150, 4,200, 5,250 (हर बार +1,050)
• (c) 5,501, 6,401, 7,301 → हर बार +900 → 8,201, 9,101, 10,001
• (d) 10,100, 10,200, 10,300 → हर बार +100 → 10,400, 10,500 … 10,800, फिर 10,900
• (f) 10,992, 10,993 → +1 → 10,994, 10,995, 10,996
• (g) 10,794, 10,796, 10,798 → +2 → 10,800, 10,802
• (h) 73,005, 72,004 → हर बार −1,001 → 71,003, 70,002, 69,001
• (i) 82,350, 83,350 → +1,000 → 84,350, 85,350

प्रश्न 2: संख्या और संख्या का नाम

प्रश्न 3: बढ़ते क्रम में लिखिए

उ. 18,926 < 34,407 < 34,740 < 40,347 < 40,473 < 47,340 < 73,404 < 74,430
(पहले दस हजार का अंक देखें; बराबर हो तो हजार का, फिर सैकड़े का।)

प्रश्न 4: क्या 9,990, 49,014 से बड़ी है?

उ. नहीं, विद्यार्थी गलत है। 9,990 चार अंकों की और 49,014 पाँच अंकों की संख्या है। स्थानीय मान सारणी में 9,990 का दस हजार वाला अंक 0 है जबकि 49,014 का 4 है, इसलिए 49,014 बड़ी है। पहला अंक तभी देखा जाता है जब दोनों संख्याओं में अंकों की संख्या बराबर हो।

प्रश्न 5: अंकों की अदला-बदली (Digit swap)

• (a) 1,478 से 5,500 से बड़ी संख्या: 1 और 8 बदलें → 8,471 (या 1 और 7 बदलकर 7,418)।
• (b) 10,593 में: (i) 11,000 और 15,000 के बीच → 0 और 3 बदलें → 13,590; (ii) 35,000 से अधिक → 1 और 9 बदलें → 90,513 (या 1 और 5 बदलकर 50,193)।
• (c) 48,247 में: (i) सबसे छोटी → पहले 4 और 2 को बदलें → 28,447; (ii) सबसे बड़ी → 4 और 8 बदलें → 84,247।

निकटतम दहाई, सैकड़ा और हजार (खरगोश का भोजन)

खरगोश 2,346 पर है। निकटतम दहाई 2,350 है (4 छलांग)। निकटतम सैकड़ा 2,300 है (46 छलांग, जबकि 2,400 तक 54)। निकटतम हजार 2,000 है (346 छलांग, जबकि 3,000 तक 654)।

आइए सोचें

प्र. 1. विजय ने निकटतम सैकड़े तक और सुमा ने निकटतम हजार तक पूर्णांकन किया, दोनों का उत्तर एक आया। कौन-सी संख्याएँ हो सकती हैं: 7,126, 7,835, 7,030, 6,999?
उ. 7,030 (7,000 और 7,000) और 6,999 (7,000 और 7,000)। 7,126 → 7,100 और 7,000 (अलग), 7,835 → 7,800 और 8,000 (अलग)।

प्र. 2. ऐसी दो संख्याएँ लिखिए जिनका (a) निकटतम दहाई (b) निकटतम सैकड़ा (c) निकटतम हजार एक हो।
उ. (a) 41 और 44 (दोनों 40) (b) 1,210 और 1,240 (दोनों 1,200) (c) 5,100 और 5,400 (दोनों 5,000)।

प्र. 3. ऐसी संख्याएँ जिनका (a) निकटतम दहाई और सैकड़ा (b) निकटतम सैकड़ा और हजार (c) तीनों एक हों।
उ. (a) 198 और 202 (दोनों के लिए 200) (b) 2,960 और 3,040 (दोनों के लिए 3,000) (c) 4,998 और 5,003 (निकटतम दहाई, सैकड़ा और हजार तीनों 5,000)।

आइए करें – यात्रा से जुड़े प्रश्न

प्र. 1. एक साइकिल चालक एक घंटे में 15 किमी चलती है। उसी गति से 4 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?
उ. 15 × 4 = 60 किमी।

प्र. 2. एक विद्यालय में 461 लड़कियाँ और 439 लड़के हैं। सबको यात्रा पर ले जाने के लिए कितने वाहन चाहिए?
उ. कुल विद्यार्थी = 461 + 439 = 900।

क्या आप जानते हैं? पुस्तक के अनुसार एक घंटे में पैदल 3–5 किमी, साइकिल से 12–20 किमी, रेलगाड़ी से 40–160 किमी और हवाई जहाज से 750–920 किमी तक की दूरी तय की जा सकती है, जबकि अंतरिक्ष यान कम से कम 28,000 किमी प्रति घंटे की गति से चलता है।

समय बिताने वाला गणित (सानजू और मीरा की पहेलियाँ)

प्र. 1. नाविक को शेर, भेड़ और घास का गट्ठर नदी पार ले जाना है, एक बार में एक ही। कैसे?
उ. (1) भेड़ को ले जाओ, अकेले लौटो। (2) शेर को ले जाओ, भेड़ को वापस लाओ। (3) भेड़ को छोड़कर घास ले जाओ, अकेले लौटो। (4) भेड़ को ले जाओ। कुल 7 बार नदी पार करनी पड़ती है और कोई किसी को नहीं खाता।

प्र. 2. कंकड़ों के ढेर का खेल (दोनों ढेरों में 7-7 कंकड़) कैसे जीतें?
उ. जीतने की तरकीब: अपनी चाल के बाद दोनों ढेरों में कंकड़ बराबर छोड़ो। विरोधी जितने कंकड़ एक ढेर से उठाए, तुम उतने ही दूसरे ढेर से उठाओ। इस तरह आखिरी कंकड़ हमेशा तुम उठाओगे। इसलिए 7-7 से शुरू होने पर दूसरा खिलाड़ी (जो बाद में चलता है) जीत सकता है।

प्र. 3. मीरा की पहेली: दो अलग अंक लेकर दो अंकों की दो संख्याएँ बनाओ, बड़ी में से छोटी घटाओ, और यही दोहराते रहो। अंत में हमेशा 9 क्यों आता है?
उ. हर अंतर 9 का गुणज होता है (जैसे 36, 27, 45, 9)। अंतर = 9 × (दोनों अंकों का अंतर)। उदाहरण: 73 − 37 = 36 = 9 × 4 (7 − 3 = 4)। इसलिए प्रक्रिया 9 के गुणजों में ही चलती है और अंत में 9 पर रुकती है।

• पहले ही चरण में 1-अंकीय संख्या पाने के लिए क्रमागत अंक चुनें, जैसे 4 और 5 (54 − 45 = 9), 2 और 3 (32 − 23 = 9)।
• अंतर 27 पाने के लिए ऐसे अंक चुनें जिनका अंतर 3 हो, जैसे 1 और 4 (41 − 14 = 27), 2 और 5 (52 − 25 = 27)।
• तालिका आगे बढ़ाइए: अंकों का अंतर 2 → 3, 5 (53 − 35 = 18); अंतर 3 → 1, 4 (27); अंतर 5 → 2, 7 (72 − 27 = 45); अंतर 7 → 1, 8 (81 − 18 = 63)।

आइए करें – बड़ी संख्याओं के प्रश्न

प्र. 1. 23,568 और 24,234 के बीच 5 संख्याएँ। उ. 23,600, 23,700, 23,800, 23,900, 24,000 (और भी कई उत्तर हो सकते हैं)।

प्र. 2. 38,125 से बड़ी पर 38,600 से छोटी 5 संख्याएँ। उ. 38,200, 38,300, 38,400, 38,500, 38,550।

प्र. 3. रवि की कार 56,987 किमी और शीतल की कार 67,543 किमी चली है। किसकी कार अधिक चली? उ. शीतल की, क्योंकि 67,543 > 56,987 (दस हजार का अंक 6 > 5)।

प्र. 4. इलेक्ट्रिक बाइक के दाम बढ़ते क्रम में। उ. ₹39,999 < ₹49,900 < ₹89,999 < ₹90,000 < ₹93,743 < ₹94,983

प्र. 5. कस्बों की जनसंख्या घटते क्रम में। उ. कस्बा 6 (66,540) > कस्बा 1 (65,232) > कस्बा 3 (56,380) > कस्बा 2 (53,231) > कस्बा 4 (51,336) > कस्बा 5 (45,858)

प्र. 6. 42,750 और 53,500 के बीच ऐसी संख्याएँ जिनमें इकाई, दहाई और सैकड़े के अंक 0 हों। उ. 43,000, 44,000, 45,000, 46,000, 47,000, 48,000, 49,000, 50,000, 51,000, 52,000, 53,000 (कुल 11 संख्याएँ)।

प्र. 7. विस्तारित रूप। उ. 8,062 = 8,000 + 60 + 2; 9,980 = 9,000 + 900 + 80; 10,304 = 10,000 + 300 + 4; 23,004 = 20,000 + 3,000 + 4; 70,405 = 70,000 + 400 + 5।

प्र. 8. रिक्त स्थान (असामान्य समूहन)।
उ. (b) 68 = 5 दहाई + 18 इकाई; (c) 607 = 4 सैकड़े + 207 इकाई; (d) 5,621 = 4 हजार + 16 सैकड़े + 2 दहाई + 1 इकाई; (e) 7,069 = 5 हजार + 20 सैकड़े + 69 इकाई; (f) 37,608 = 2 दस हजार + 17 हजार + 6 सैकड़े + 8 इकाई; (g) 43,001 = 3 दस हजार + 13 हजार + 0 सैकड़े + 1 इकाई।
जाँच का तरीका: सभी भाग जोड़कर देखें, जैसे (d) 4,000 + 1,600 + 20 + 1 = 5,621।

प्र. 9. नोटों की संख्या।
उ. ₹7,934 में: (a) ₹10 के 793 नोट (b) ₹100 के 79 नोट (c) 7 हजार (d) ₹500 के 15 नोट (7 हजार = 14 नोट, और बचे ₹934 में एक और ₹500)।
₹65,342 में: (e) ₹10 के 6,534 नोट (f) ₹100 के 653 नोट (g) 65 हजार (h) ₹500 के 130 नोट (65 × 2 = 130, बचे ₹342 में ₹500 का नोट नहीं बनता)।

राजा के घोड़े (पहेली)

उ. रखवाले की गलती यह थी कि कोनों के घोड़े दो-दो भुजाओं में गिने गए। इसलिए हर भुजा पर 5 घोड़े दिखने पर भी कुल घोड़े 20 से कम थे। कोनों में अधिक घोड़े रखकर 18 घोड़ों को भी हर भुजा पर 5 दिखाया जा सकता है। यदि हर कमरे में कम से कम एक घोड़ा रहे, तो हर कोने में 2 और बीच के हर कमरे में 1 घोड़ा रखकर केवल 12 घोड़ों में भी हर भुजा पर 5 दिखेंगे। यानी 18 के बाद चोर 6 और घोड़े चुरा सकता है और राजा को पता नहीं चलेगा।

अध्याय 2: भिन्न — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में तुल्य भिन्न (equivalent fractions), समान हर और समान अंश वाली भिन्नों की तुलना, 1 से बड़ी भिन्नें (जैसे 5/2 = 2½) और 1 तथा 1/2 को संदर्भ मानकर भिन्नों की तुलना सिखाई गई है।

तमन्ना की चॉकलेट: क्या 1/3, 1/2 से बड़ा हो सकता है?

उ. हाँ, अगर दोनों चॉकलेट अलग-अलग आकार की हों। बड़ी चॉकलेट का 1/3 छोटी चॉकलेट के 1/2 से बड़ा हो सकता है। नियम: दो भिन्नों की तुलना तभी सही होती है जब दोनों एक ही (या बराबर) पूर्ण से ली गई हों। एक ही चॉकलेट में 1/2 हमेशा 1/3 से बड़ा होता है।

भिन्न किट से खेल

प्र. एक पूर्ण बनाने के लिए 1/5 के कितने टुकड़े चाहिए? उ. 5 टुकड़े (5 × 1/5 = 1)।

प्र. 1/2 और 1/4 में क्या संबंध है? उ. 1/2 के टुकड़े को दो बराबर भागों में तोड़ें तो हर भाग 1/4 होता है, इसलिए 1/2 = 2/4। इसी तरह 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12।

प्र. क्या 1/3 = 2/6? उ. हाँ। एक तिहाई भाग को दो बराबर हिस्सों में बाँटें तो छायांकित भाग 6 में से 2 भाग हो जाता है। ऐसी भिन्नें तुल्य भिन्न कहलाती हैं।

आइए करें – प्रश्न 1: तुल्य भिन्न लिखिए

• (a) 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12
• (b) 1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/16
• (c) 1/5 = 2/10 = 3/15 = 4/20
• (d) 1/6 = 2/12 = 3/18 = 4/24

तरीका: अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करने पर तुल्य भिन्न मिलती है।

प्रश्न 2: कितने छोटे टुकड़े मिलकर बड़ा टुकड़ा बनाते हैं?

• A. 1/3 बनाने के लिए 1/6 के 2 टुकड़े।
• B. (a) 1/4 = 1/8 के 2 टुकड़े (b) 1/2 = 1/8 के 4 टुकड़े।
• C. 1/12 के टुकड़े: (a) 1/2 के लिए 6 (b) 1/3 के लिए 4 (c) 1/4 के लिए 3 (d) 1/6 के लिए 2।

प्रश्न 3: किट से पूर्ण बनाइए (नमूना उत्तर)

• केवल 1/6 और 1/12 से: 1/6 के 4 टुकड़े + 1/12 के 4 टुकड़े (4/6 + 4/12 = 2/3 + 1/3 = 1)।
• 1/12, 1/4 और 1/2 से: 1/2 + 1/4 + 1/12 के 3 टुकड़े (1/2 + 1/4 + 1/4 = 1)।
• एक ही आकार के पाँच टुकड़े: 1/5 के 5 टुकड़े।
• कोई भी सात टुकड़े: 1/2 का 1 टुकड़ा + 1/12 के 6 टुकड़े (1/2 + 6/12 = 1)।

तुल्य भिन्न बनाना (समीर की आकृतियाँ)

1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 = 6/18 = 8/24 = 12/36। हर बार अंश और हर एक ही संख्या से गुणा होते हैं।
2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20 = 20/50 = 40/100।

आइए करें (पृष्ठ 22)

प्र. 1. तुल्य भिन्न लिखिए। उ. (a) 1/7 = 2/14 (b) 2/3 = 4/6 (c) 3/4 = 6/8 (d) 3/5 = 6/10 (अन्य उत्तर भी सही हो सकते हैं)।

प्र. 2. तुल्य भिन्नों पर सही का निशान लगाइए। उ. (b) 3/5 और 6/10 ✓ (c) 4/12 और 2/6 ✓ (दोनों 1/3 के बराबर)। (a) 2/3 और 3/4 तुल्य नहीं; (d) 6/9 = 2/3 है, 1/3 नहीं, इसलिए तुल्य नहीं।

प्र. 3. बॉक्स भरिए। उ. (a) 2/5 = 4/10 (b) 3/4 = 12/16 (c) 4/7 = 8/14 (d) 5/9 = 25/45

समान हर वाली भिन्नों की तुलना

सेवी ने चिक्की का 1/3 और शमी ने 2/3 खाया, इसलिए शमी ने अधिक खाया (2/3 > 1/3)। समान हर हो तो जिसका अंश बड़ा, वह भिन्न बड़ी।

उत्तर: (a) 1/4 < 3/4 (b) 3/5 < 4/5 (c) 5/7 > 2/7 (d) 7/8 > 3/8 (e) 5/10 < 6/10 (f) 2/6 > 1/6

समान अंश वाली भिन्नों की तुलना

4/6 और 4/5 में: 1/6 का टुकड़ा 1/5 के टुकड़े से छोटा होता है, इसलिए 4/6 < 4/5। समान अंश हो तो जिसका हर छोटा, वह भिन्न बड़ी।

उत्तर: (a) 3/8 < 3/7 (b) 4/9 > 4/10 (c) 2/7 < 2/5 (d) 5/7 < 5/6 (e) 6/9 > 6/10 (f) 7/9 > 7/11

1 से बड़ी भिन्नें (रमन के घर के पराठे)

• माँ: 1/2 पराठे के 5 टुकड़े = 5/2 = 2½ पराठे
• राधिका: 6 टुकड़े = 6/2 = 3 पराठे; दादीजी: 7 टुकड़े = 7/2 = 3½ पराठे
• रमन 6/2 = 3, दादाजी 7/2 = 3½, बाबा 5/2 = 2½ पराठे
• दूसरे दिन (चौथाई टुकड़े): दादाजी 9/4 = 2¼ पराठे
• रमन 7/4 = 1¾, राधिका 6/4 = 1½, माँ 8/4 = 2, दादीजी 10/4 = 2½, बाबा 12/4 = 3 पराठे। कुल = 43/4 = 10¾ पराठे खाए गए, यानी कम से कम 11 पराठे बने थे (¼ पराठा बचा)।

पिज़्ज़ा: 2 पिज़्ज़ा × 3 टुकड़े = 6 टुकड़े, हर टुकड़ा 1/3। रमन को अपना + दादीजी + दादाजी का टुकड़ा = 3/3 = 1 पूरा पिज़्ज़ा; राधिका को अपना + माँ + बाबा का = 1 पूरा पिज़्ज़ा। बाद में रमन ने 1 टुकड़ा राधिका को दिया, तो राधिका के पास 4/3 = 1⅓ पिज़्ज़ा और रमन के पास 2/3 पिज़्ज़ा।

प्र. 1 से बड़ी भिन्नों पर घेरा लगाइए। उ. जिन भिन्नों का अंश, हर से बड़ा है वे 1 से बड़ी हैं: 9/4, 5/4, 7/3, 13/11, 12/8, 12/5। बाकी (7/9, 2/5, 4/9, 3/9, 5/7, 2/3, 7/11) 1 से छोटी हैं।

1 को संदर्भ मानकर तुलना

7/8 एक से कम और 8/6 एक से अधिक है, इसलिए 7/8 < 8/6।

उत्तर: (a) 8/7 > 9/15 (b) 13/20 < 17/15 (c) 7/6 > 8/8 (d) 6/6 < 19/12 (e) 12/9 > 4/5 (f) 15/5 (= 3) < 16/4 (= 4)

1/2 को संदर्भ मानकर तुलना

प्र. 1. 1/2 के बराबर भिन्नें। उ. 2/4, 5/10, 6/12, 7/14, 8/16, 10/20 (इनमें हर, अंश का ठीक दोगुना है)। 3/5, 6/8, 5/7, 5/9 आधे से अधिक हैं।

प्र. 2. आधे से कम भिन्नें। उ. 3/9, 1/3, 6/18, 3/15 और 15/31 (31 का आधा 15½ है)। 2/4 और 4/8 ठीक आधे हैं; 8/15, 11/16, 11/12, 7/11, 12/15 आधे से अधिक हैं।

प्र. 3. तुलना कीजिए। उ. 2/9 < 4/7; 11/14 > 7/20; 5/7 > 3/9; 6/7 > 4/10; 9/17 > 3/15; 7/12 > 3/11; 1/3 < 5/9; 3/9 < 4/7 (हर जोड़ी में एक भिन्न आधे से कम और दूसरी आधे से अधिक है)।

प्रयास करें

प्र. एक चींटी 1/4 सेमी लंबी है। 16 चींटियाँ एक कतार में हों तो कुल लंबाई? उ. 16 × 1/4 = 16/4 = 4 सेमी।

प्र. आपके पिता की बहन के इकलौते भाई का बच्चा आपका क्या लगेगा? उ. बुआ के इकलौते भाई आपके पिता ही हैं, इसलिए वह बच्चा आप स्वयं या आपके भाई/बहन हैं।

अध्याय 3: घुमाव के रूप में कोण — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में कोण को घुमाव (turn) के रूप में समझाया गया है। पूरा घुमाव, आधा घुमाव (ऋजु कोण), चौथाई घुमाव (समकोण), चौथाई से कम (न्यून कोण) और चौथाई से अधिक पर आधे से कम (अधिक कोण) की पहचान, कोण मापने का कागज़ी उपकरण, घड़ी की सुई के घुमाव और दक्षिणावर्त/वामावर्त दिशा इसमें सिखाई गई है।

स्टैच्यू का खेल और घुमाव

प्र. रीमा एक ही दिशा में दो आधे घुमाव लेती है। यह कैसा घुमाव है? उ. एक पूरा घुमाव (½ + ½ = 1)।

प्र. एक ही दिशा में 2 चौथाई घुमाव? उ. एक आधा घुमाव (¼ + ¼ = ½)।

प्र. एक ही दिशा में 4 चौथाई घुमाव? उ. एक पूरा घुमाव।

प्र. रोज़मर्रा की ऐसी वस्तुएँ लिखिए जिनमें घुमाव होता है। उ. नल, दरवाज़ा, पंखा, घड़ी की सुइयाँ, साइकिल का पहिया, बोतल का ढक्कन, चाबी, कैंची।

प्र. कपड़े की चिमटी, कब्ज़े वाला दरवाज़ा, चिमटा, कैंची, फ़ाइल कवर — अधिकतम घुमाव कितना?
उ. कपड़े की चिमटी, चिमटा और कैंची आमतौर पर ¼ घुमाव से कम खुलते हैं। कब्ज़े वाला दरवाज़ा लगभग ¼ घुमाव या उससे थोड़ा अधिक खुलता है। फ़ाइल कवर पूरा खोलने पर सीधा फैल जाता है, यानी आधा घुमाव कर सकता है। इनमें से कोई भी वस्तु पूरा घुमाव नहीं करती। (घर की वस्तुओं में थोड़ा अंतर हो सकता है, इसलिए खुद जाँचकर टिक करें।)

स्ट्रॉ से कोण: न्यून, समकोण, अधिक और ऋजु

• ¼ घुमाव = समकोण
• ¼ से कम घुमाव = न्यून कोण
• ¼ से अधिक, ½ से कम = अधिक कोण
• ½ घुमाव (दो चौथाई घुमाव) = ऋजु कोण
• ¾ घुमाव ऋजु कोण से भी अधिक होता है

प्र. क्या दो न्यून घुमाव मिलकर हमेशा न्यून घुमाव बनाते हैं? उ. नहीं। दो छोटे न्यून घुमाव मिलकर न्यून रह सकते हैं, पर दो ⅛ घुमाव मिलकर ¼ घुमाव (समकोण) बन जाते हैं, और दो बड़े न्यून घुमाव अधिक कोण भी बना सकते हैं।

प्र. 2 समकोण, 2 अधिक कोण और 1 न्यून कोण वाली 5-भुजाओं की आकृति बनाइए। उ. संकेत: एक आयत का नीचे वाला भाग (दो समकोण) बनाइए और ऊपर की ओर घर की छत जैसा नुकीला सिरा बनाइए। छत की दोनों ढलानें दीवारों से अधिक कोण बनाती हैं और ऊपर की चोटी पर न्यून कोण बनता है (चोटी को पतला और ऊँचा रखें)।

कोण मापने का उपकरण (⅛ और 1/6 भाग)

• ट्रेसिंग पेपर के वृत्त को 8 बराबर भागों में मोड़ें। ⅛ घुमाव, चौथाई घुमाव का आधा होता है।
• 2/8 घुमाव = ¼ घुमाव = समकोण
• 4/8 घुमाव = ½ घुमाव = ऋजु कोण
• 6/8 घुमाव = ¾ घुमाव, और 8/8 = पूरा घुमाव
• वृत्त को 6 बराबर भागों में मोड़ने पर 1/6 घुमाव मिलता है। 1/6 घुमाव का आधा = 1/12 घुमाव।

आइए करें – घड़ी की मिनट की सुई

याद रखें: घड़ी के 12 भाग हैं और हर भाग 5 मिनट का है। इसलिए 1/12 घुमाव = 5 मिनट।

दक्षिणावर्त और वामावर्त

घड़ी की सुइयाँ जिस दिशा में घूमती हैं उसे दक्षिणावर्त (clockwise) और उल्टी दिशा को वामावर्त (anti-clockwise) कहते हैं। नल खोलना, ढक्कन खोलना या नट ढीला करना आमतौर पर वामावर्त घुमाव होता है, और बंद करना/कसना दक्षिणावर्त।

घुमाव का खेल – दिशा तालिका

अध्याय 4: हम हैं यात्री – 2 — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में ईंधन, सड़क-मार्ग और समुद्री मार्ग के संदर्भ में जोड़ और घटाव (हासिल और उधार सहित), जोड़-घटाव का संबंध, क्रमागत संख्याओं के योग, जल्दी जोड़ने-घटाने की तरकीबें, पैलिंड्रोम संख्याएँ और सम-विषम संख्याएँ सिखाई गई हैं।

ईंधन का अंकगणित (जोड़)

प्र. 1. एक लॉरी में 28 लीटर ईंधन है, 75 लीटर और भरा गया। कुल कितना? उ. 28 + 75 = 103 लीटर (8 + 5 = 13, यानी 1 दहाई हासिल)।

प्र. 2. 49 और 89 का योग। उ. 49 + 89 = 138। आसान तरीका: 50 + 89 = 139, फिर 1 घटाएँ।

आइए हल करें: (a) 15 + 79 = 94 (b) 46 + 99 = 145 (46 + 100 − 1) (c) 38 + 35 = 73 (d) 5 + 89 = 94 (e) 76 + 28 = 104 (f) 69 + 20 = 89

जोड़ और घटाव का संबंध

प्र. 1. रिक्त स्थान। उ. (a) 67 − 21 = 46; 67 − 46 = 21 (b) 100 + 98 = 198; 198 − 100 = 98 (c) 287 − 98 = 189; 287 − 189 = 98 (d) 200 + 672 = 872; 872 − 200 = 672

प्र. 2. संबंधित वाक्य लिखिए।
उ. (a) 78 + 164 = 242 → 242 − 164 = 78 और 242 − 78 = 164
(b) 462 + 839 = 1301 → 1301 − 839 = 462 और 1301 − 462 = 839
(c) 921 − 137 = 784 → 784 + 137 = 921 और 921 − 784 = 137
(d) 824 − 234 = 590 → 590 + 234 = 824 और 824 − 590 = 234

प्र. मिनीबस में 18 लीटर ईंधन बचा था, भरने के बाद 65 लीटर हुआ। कितना भरा गया? उ. 65 − 18 = 47 लीटर (जाँच: 18 + 47 = 65)।

आइए हल करें (घटाव): 82 − 37 = 45; 57 − 11 = 46; 23 − 19 = 4; 49 − 21 = 28; 56 − 18 = 38; 93 − 35 = 58; 84 − 23 = 61; 70 − 43 = 27; 65 − 47 = 18

क्रमागत संख्याओं के योग

• 2 क्रमागत संख्याओं का योग हमेशा विषम होता है (3, 5, 7, 9), क्योंकि एक सम और एक विषम संख्या जुड़ती है। लगातार योगों में अंतर 2 है।
• 3 क्रमागत संख्याओं का योग बारी-बारी से सम और विषम (6, 9, 12, 15) होता है। अंतर 3 है।
• 4 क्रमागत संख्याओं का योग हमेशा सम होता है (10, 14, 18, 22)। अंतर 4 है।
• इसी तरह 5 क्रमागत संख्याओं के योगों में अंतर 5 और 6 क्रमागत संख्याओं में 6 होगा।

बिना सीधे जोड़े योग: (a) 67 + 68 + 69 = 3 × 68 = 204 (बीच की संख्या × 3) (b) 24 + 25 + 26 + 27 = 2 × (24 + 27) = 102 (c) 48 + 49 + 50 + 51 + 52 = 5 × 50 = 250 (d) 237 + … + 242 (6 संख्याएँ) = 3 × (237 + 242) = 3 × 479 = 1,437

सबसे लंबा सड़क मार्ग – बड़ी संख्याओं का जोड़

प्र. उत्तर–दक्षिण गलियारे पर एक स्थान श्रीनगर से 1,855 किमी और कन्याकुमारी से 1,862 किमी दूर था। 2019 में गलियारे की कुल लंबाई? उ. 1,855 + 1,862 = 3,717 किमी।

प्र. महेश ने ईंधन व टोल पर ₹21,880 और अन्य खर्च पर ₹38,900 खर्च किए। कुल खर्च? उ. 21,880 + 38,900 = ₹60,780।

आइए हल करें: (a) 238 + 367 = 605 (b) 1,234 + 12,345 = 13,579 (c) 12 + 123 = 135 (d) 46,120 + 12,890 = 59,010 (e) 878 + 8,789 = 9,667 (f) 1,749 + 17,490 = 19,239

प्र. नज़राना की भारत सड़क यात्रा (दिल्ली → मुंबई → गोवा → हैदराबाद → पुरी), मानचित्र की दूरियाँ 1,600 किमी, 590 किमी, 670 किमी और 1,055 किमी। उ. कुल दूरी = 1,600 + 590 + 670 + 1,055 = 3,915 किमी।

प्र. 5,205, 6,220, 7,095, 8,455, 4,840 में से वे 2 संख्याएँ जिनका योग दिए गए मान के सबसे निकट हो।
उ. (a) 10,000 → 5,205 + 4,840 = 10,045 (b) 15,000 → 6,220 + 8,455 = 14,675 (c) 13,000 → 4,840 + 8,455 = 13,295 (d) 16,000 → 7,095 + 8,455 = 15,550 (यही सबसे बड़ा संभव योग है)

बड़ी संख्याओं का घटाव

प्र. मुंबई से चेन्नई का समुद्री मार्ग 2,700 किमी है। जहाज़ 1,083 किमी चलकर कोचीन पहुँचा। और कितना चलना है? उ. 2,700 − 1,083 = 1,617 किमी।

प्र. टालोन–साग्रेस मार्ग (15,150 किमी) काहिरा–केप टाउन राजमार्ग (10,228 किमी) से कितना लंबा है? उ. 15,150 − 10,228 = 4,922 किमी।

आइए हल करें: (a) 4,578 − 2,222 = 2,356 (b) 15,324 − 11,780 = 3,544 (c) 5,423 − 423 = 5,000 (d) 123 − 12 = 111 (e) 77,777 − 777 = 77,000 (f) 826 − 752 = 74

प्र. मैरी की रेल यात्रा। उ. 12,540 − 3,275 = 9,265; चाचा के दिए ₹4,900 जोड़ने पर 14,165; टिकट ₹2,645 घटाने पर 11,520; स्मृति-चिह्न ₹1,275 घटाने पर ₹10,245 बचे। (यहाँ चाचा के उपहार को ₹4,900 नकद माना गया है।)

प्र. विद्यालय परिषद ने ₹70,500 जुटाए। खर्च: गणित प्रयोगशाला ₹39,785, पुस्तकें ₹9,545, खेल सामान ₹19,548। उ. (a) अनुमान: लगभग 40,000 + 9,500 + 19,500 = 69,000, जो 70,500 से कम है, इसलिए पैसे पर्याप्त लगते हैं। (b) सही गणना: 39,785 + 9,545 + 19,548 = 68,878। 70,500 − 68,878 = ₹1,622 बचेंगे।

प्र. ट्रक 8,250 किग्रा ले जा सकता है। 3,675 किग्रा सीमेंट और 2,850 किग्रा स्टील लादा गया। उ. (a) 3,675 + 2,850 = 6,525 किग्रा (b) 8,250 − 6,525 = 1,725 किग्रा और लादा जा सकता है।

जल्दी जोड़ और घटाव

100, 1,000 या 10,000 बनाना: हर अंक को 9 तक और इकाई अंक को 10 तक पूरा करें। 32 + 68 = 100; 59 + 41 = 100; 877 + 123 = 1,000; 666 + 334 = 1,000; 4,103 + 5,897 = 10,000; 5,555 + 4,445 = 10,000।
(a) 180 + 820 (b) 760 + 240 (c) 400 + 600 = 1,000। इकाई अंक 0 होने पर यह तरीका सीधे काम नहीं करता; तब दहाई अंक को 10 तक और बाकी को 9 तक पूरा करें (जैसे 180 → 8 और 2 → 820)।

9 या 99 घटाना: 10 घटाकर 1 जोड़ें, या 100 घटाकर 1 जोड़ें। (a) 67 − 9 = 58 (b) 83 − 9 = 74 (c) 144 − 9 = 135 (d) 187 − 99 = 88 (e) 247 − 99 = 148 (f) 763 − 99 = 664

नमिता के प्रश्न: (a) 32 − 23 = 9 (b) 56 − 47 = 9 (c) 877 − 778 = 99 (d) 666 − 567 = 99

आइए सोचें और हल करें

प्र. 1. पैलिंड्रोम संख्याएँ।
उ. 100 और 200 के बीच: 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191 (10 संख्याएँ)।
900 और 1,200 के बीच: 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999, 1001, 1111 (12 संख्याएँ)।
25,000 और 27,000 के बीच: 25052, 25152, 25252, … 25952 और 26062, 26162, … 26962 (कुल 20 संख्याएँ)।

प्र. 2. 3×3 ग्रिड में 1 से 9। उ. हर पंक्ति और स्तंभ बढ़ते क्रम में: 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9। घटते क्रम में: 9 8 7 / 6 5 4 / 3 2 1। बाकी ग्रिड भी इसी सोच से भरें: जहाँ “inc” हो वहाँ बाएँ से दाएँ (या ऊपर से नीचे) संख्या बढ़नी चाहिए।

सम और विषम संख्याएँ

प्र. 1. सम संख्याओं पर घेरा। उ. सम: 498, 724, 100, 846, 222 (इकाई अंक 0, 2, 4, 6 या 8)। विषम: 297, 199, 789, 49, 6,893, 111, 1,023।

प्र. 3. जोड़ियों के योग। उ. (a) सम + सम = हमेशा सम (12 + 6 = 18) (b) विषम + विषम = हमेशा सम (13 + 9 = 22), क्योंकि दोनों के बचे हुए एक-एक मिलकर जोड़ी बना लेते हैं (c) विषम + सम = हमेशा विषम (7 + 12 = 19)।

प्र. जिंसी के पास ₹1 के 8, ₹2 के 9 और ₹5 के 5 सिक्के हैं। ₹38 कैसे चुकाए? उ. कई तरीके हैं, जैसे: ₹5 × 5 + ₹2 × 6 + ₹1 × 1 = 25 + 12 + 1 = 38; या ₹5 × 4 + ₹2 × 9 = 20 + 18 = 38; या ₹5 × 3 + ₹2 × 9 + ₹1 × 5 = 15 + 18 + 5 = 38।

प्र. रघु की टॉर्च 23वीं बार दबाने पर चालू होगी या बंद? उ. चालू। विषम संख्या बार दबाने पर (1, 3, 5 …) टॉर्च चालू और सम संख्या बार दबाने पर (2, 4, 6 …) बंद होती है। 23 विषम है।

प्र. प्रियंका मोहिते की पर्वत चढ़ाई।
उ. (a) सबसे ऊँची चोटी: माउंट एवरेस्ट (8,848 मी) (b) सबसे ऊँची और सबसे नीची (माउंट एल्ब्रुस 5,642 मी) में अंतर = 8,848 − 5,642 = 3,206 मी (c) कंचनजंगा और एल्ब्रुस में अंतर = 8,586 − 5,642 = 2,944 मी (d) 2013 में 20 वर्ष की थीं, तो जन्म वर्ष = 2013 − 20 = 1993।

मैथ मेट्रिक मेला – प्रमाण पत्र

• चित्तूर (आंध्र प्रदेश): 18,225 − 18,104 = 121 प्रमाण पत्र अधिक
• जौनपुर (उत्तर प्रदेश): 19,265 − 19,043 = 222 प्रमाण पत्र कम
• रायगढ़ (महाराष्ट्र): 20,863 − 19,974 = 889 प्रमाण पत्र अधिक

आइए करें (अभ्यास)

1. जोड़िए: 2,009 + 7,388 = 9,397; 26,444 + 71,111 = 97,555; 777 + 888 = 1,665; 1,234 + 1,234 = 2,468; 56 + 56,789 = 56,845; 777 + 77,777 = 78,554; 5,922 + 9,221 = 15,143; 4,321 + 8,765 = 13,086; 50,050 + 55,000 = 1,05,050

2. घटाइए: 458 − 226 = 232; 7,777 − 4,449 = 3,328; 65,447 − 47,299 = 18,148; 1,234 − 123 = 1,111; 12,345 − 1,234 = 11,111; 56,789 − 56 = 56,733; 87,326 − 11,111 = 76,215; 878 − 52 = 826; 749 − 222 = 527

3. अंबरीश ने ₹92,375 बचाए। गाय ₹26,000, बकरी ₹17,000, दूध निकालने की मशीन ₹19,873। उ. कुल खर्च = 26,000 + 17,000 + 19,873 = 62,873। हाँ, पैसे पर्याप्त हैं, और 92,375 − 62,873 = ₹29,502 अधिक हैं।

4. कारखाना एक दिन में 54,000 नट-बोल्ट बनाता है, ऑर्डर 85,300 का है। उ. 85,300 − 54,000 = 31,300 और बनाने होंगे।

5. विराट कोहली के 27,599 रन हैं, जो सचिन तेंदुलकर से 6,758 कम हैं। उ. सचिन के रन = 27,599 + 6,758 = 34,357।

अध्याय 5: दूर और पास — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में लंबाई की इकाइयाँ — मिलीमीटर (मिमी), सेंटीमीटर (सेमी), मीटर (मी) और किलोमीटर (किमी) — उनके आपसी संबंध, दोहरी संख्या-रेखा से रूपांतरण, लंबाइयों का जोड़-घटाव और गुणा-भाग सिखाया गया है। मुख्य संबंध: 10 मिमी = 1 सेमी, 100 सेमी = 1 मी, 1,000 मी = 1 किमी।

उचित इकाई पहचानिए (मीटर या सेंटीमीटर)

उ. इंडिया गेट की ऊँचाई 42 मी; रूमाल की लंबाई 40 सेमी; कुएँ की गहराई 50 मी; मोबाइल फ़ोन की लंबाई 13 सेमी; हाथी की सूँड की लंबाई 2 मी; कमीज़ के दो बटनों के बीच की दूरी 5 सेमी।

अलग इकाई, समान माप (साड़ी और दुपट्टे)

100 सेमी = 1 मी, 2 मी = 200 सेमी, 400 सेमी = 4 मी, 500 सेमी = 5 मी, 700 सेमी = 7 मी।

समान माप वाली जोड़ियाँ: 204 सेमी = 2 मी 4 सेमी; 540 सेमी = 5 मी 40 सेमी; 240 सेमी = 2 मी 40 सेमी; 404 सेमी = 2 मी 204 सेमी; 750 सेमी = 6 मी 150 सेमी।

आइए तुलना करें

प्र. 1. ऋतिका की छड़ें। उ. (a) 456 सेमी < 5 मी (500 सेमी) (b) 55 सेमी + 200 सेमी (255 सेमी) > 200 सेमी + 54 सेमी (254 सेमी) (c) 6 मी 5 सेमी < 6 मी 50 सेमी (d) 2 मी 150 सेमी = 3 मी 50 सेमी (दोनों 350 सेमी) (e) 238 सेमी = 138 सेमी + 1 मी

प्र. 2. विश्व की कुछ सबसे ऊँची प्रतिमाएँ (स्टैच्यू ऑफ़ यूनिटी 182 मी, स्प्रिंग टेंपल बुद्ध 128 मी, गुआनयिन ऑफ़ नानशान 108 मी, स्टैच्यू ऑफ़ लिबर्टी 93 मी, द मदरलैंड कॉल्स 91 मी, क्राइस्ट द रिडीमर 38 मी)
उ. (a) सबसे ऊँची (स्टैच्यू ऑफ़ यूनिटी) और स्टैच्यू ऑफ़ लिबर्टी का अंतर = 182 − 93 = 89 मी। (b) सबसे कम अंतर: स्टैच्यू ऑफ़ लिबर्टी (93 मी) और द मदरलैंड कॉल्स (91 मी), अंतर 2 मी। (c) सबसे अधिक अंतर: स्टैच्यू ऑफ़ यूनिटी और क्राइस्ट द रिडीमर, 182 − 38 = 144 मी। (d) द मदरलैंड कॉल्स (91 × 2 = 182 मी)।

क्या आप जानते हैं? स्टैच्यू ऑफ़ यूनिटी गुजरात में है और सरदार वल्लभभाई पटेल की प्रतिमा है।

लंबी दूरियाँ मापना — किलोमीटर

1,000 मी चलने को 1 किमी कहते हैं। “किलो” का अर्थ है हज़ार।

1 किमी बनाने के लिए कितनी रस्सियाँ? 1,000 मी → 1; 500 मी → 2; 250 मी → 4; 200 मी → 5; 100 मी → 10; 10 मी → 100।

किलोमीटर दौड़ (3 किमी)

प्र. 1. हर 500 मी पर पानी स्टेशन। उ. 500 मी, 1,000 मी (1 किमी), 1,500 मी, 2,000 मी, 2,500 मी और 3,000 मी पर, यानी 6 स्टेशन (यदि अंतिम रेखा पर स्टेशन न रखें तो 5)।

प्र. 2. हर 300 मी पर एक बच्चा। उ. 300, 600, 900, 1,200, 1,500, 1,800, 2,100, 2,400, 2,700 और 3,000 मी पर, यानी 10 बच्चे (3,000 ÷ 300 = 10)।

प्र. 3. हर 50 मी पर बारी-बारी से लाल और नीले झंडे। उ. 3,000 ÷ 50 = 60 झंडे, यानी 30 लाल और 30 नीले (आरंभ बिंदु पर झंडा न गिनें तो)।

सबसे लंबी रेल यात्रा — विवेक एक्सप्रेस (डिब्रूगढ़ से कन्याकुमारी)

उ. 1. कुल लंबाई 4,187 किमी। 2. विजयवाड़ा और जलपाईगुड़ी रोड के बीच 2,800 − 983 = 1,817 किमी। 3. विजयवाड़ा और विशाखापत्तनम के बीच 2,800 − 2,450 = 350 किमी। 4. गुवाहाटी–दीमापुर = 556 − 306 = 250 किमी; भुवनेश्वर–जलपाईगुड़ी रोड = 2,007 − 983 = 1,024 किमी, इसलिए भुवनेश्वर और जलपाईगुड़ी रोड अधिक दूर हैं। 5. गुवाहाटी और कोयंबटूर जंक्शन के बीच 3,675 − 556 = 3,119 किमी।

छोटी चीज़ों की दुनिया — मिलीमीटर

पैमाने पर 1 सेमी और 2 सेमी के बीच 10 बराबर भाग होते हैं; हर भाग 1 मिमी है (बीच में 9 छोटे निशान दिखते हैं)। 36 मिमी की रेखा खींचने के लिए 3 सेमी तक जाकर 6 छोटे निशान और आगे जाएँ (36 मिमी = 3 सेमी 6 मिमी); इसी तरह 67 मिमी = 6 सेमी 7 मिमी।

विभिन्न इकाइयों में संबंध — आइए करें

प्र. 1. दोहरी संख्या-रेखाएँ।
उ. (a) 7 सेमी = 70 मिमी; 15 सेमी = 150 मिमी; 25 सेमी = 250 मिमी; 32 सेमी = 320 मिमी; 45 सेमी = 450 मिमी; 50 सेमी = 500 मिमी
(b) 1 मी = 100 सेमी; 4 मी = 400 सेमी; 10 मी = 1,000 सेमी; 12 मी = 1,200 सेमी; 14 मी = 1,400 सेमी; 17 मी = 1,700 सेमी; 21 मी = 2,100 सेमी
(c) 9 किमी = 9,000 मी; 25 किमी = 25,000 मी; 41 किमी = 41,000 मी; 55 किमी = 55,000 मी; 67 किमी = 67,000 मी; 82 किमी = 82,000 मी

प्र. 2. रिक्त स्थान।
उ. (a) 4 सेमी 5 मिमी = 45 मिमी (b) 89 मिमी = 8 सेमी 9 मिमी (c) 234 सेमी = 2,340 मिमी (d) 514 मिमी = 51 सेमी 4 मिमी (e) 6 मी 34 सेमी = 634 सेमी (f) 20 मी 12 सेमी = 2,012 सेमी (g) 397 मी = 39,700 सेमी (h) 5,792 सेमी = 57 मी 92 सेमी (i) 9,108 सेमी = 91 मी 8 सेमी (j) 34 किमी = 34,000 मी (k) 6,870 मी = 6 किमी 870 मी (l) 10,552 मी = 10 किमी 552 मी (m) 29 किमी 30 मी = 29,030 मी (n) 32 किमी 359 मी = 32,359 मी

लंबाइयों का जोड़ और घटाव

प्र. साजी सुबह 3 किमी 450 मी और शाम को 4 किमी 650 मी चला। कुल? उ. 3 किमी + 4 किमी = 7 किमी; 450 मी + 650 मी = 1,100 मी = 1 किमी 100 मी। कुल = 8 किमी 100 मी (या 3,450 मी + 4,650 मी = 8,100 मी)।

प्र. 63 मी तार में से 16 मी 75 सेमी पहले कमरे में लगा। कितना बचा? उ. 6,300 सेमी − 1,675 सेमी = 4,625 सेमी = 46 मी 25 सेमी।

आइए करें:
1. रानी के रिबन: 3 मी 75 सेमी + 2 मी 25 सेमी = 6 मी।
2. भोपाल से साँची 48 किमी 700 मी, भदभदा घाट झरना 17 किमी 900 मी पर। झरने से साँची = 48 किमी 700 मी − 17 किमी 900 मी = 30 किमी 800 मी।
3. गुलमर्ग गोंडोला: 2 किमी 300 मी + 2 किमी 650 मी = 4 किमी 950 मी।

प्र. 4. बड़ी लंबाई पर घेरा और अंतर।
उ. (a) 11 मिमी बड़ा, अंतर 1 मिमी (b) 26 मिमी बड़ा, अंतर 6 मिमी (c) 201 मिमी बड़ा, अंतर 1 मिमी (d) 1,020 मिमी बड़ा, अंतर 20 मिमी (e) 245 सेमी बड़ा, अंतर 45 सेमी (f) 6 किमी बड़ा, अंतर 322 मी (g) 6 किमी 1,480 मी (= 7,480 मी) बड़ा, अंतर 1 मी

लंबाइयों का गुणा और भाग

प्र. 1. एक कमीज़ के लिए 1 मी 80 सेमी कपड़ा, 20 कमीज़ों के लिए? उ. 20 × 1 मी = 20 मी, 20 × 80 सेमी = 1,600 सेमी = 16 मी। कुल 36 मी।

प्र. 2. 5 मी कपड़ा ₹100 का। उ. 1 मी = 100 ÷ 5 = ₹20। 10 मी = ₹200, 20 मी = ₹400, 40 मी = ₹800, और ₹2,000 में 100 मी कपड़ा आएगा।

प्र. 3. अनीता को 50 सेमी किनारी के लिए 1 मी धागा चाहिए। 5 मी किनारी के लिए? उ. 5 मी = 500 सेमी = 10 × 50 सेमी, इसलिए 10 मी धागा। 1 मी धागा ₹50, तो 10 मी = ₹500।

प्र. 4. 12 किमी 600 मी सड़क 6 दिनों में बराबर-बराबर बनी। प्रतिदिन? उ. 12,600 मी ÷ 6 = 2,100 मी = 2 किमी 100 मी प्रतिदिन।

अन्य इकाइयाँ — इंच और फ़ुट

पुस्तक के अनुसार 1 इंच ≈ 2 सेमी 5 मिमी और 1 फ़ुट = 12 इंच ≈ 30 सेमी। लंबाई (कद) अक्सर फ़ुट और इंच में बताई जाती है, जैसे 4 फ़ुट 2 इंच।

अध्याय 6: दुग्धशाला (डेयरी फार्म) — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में डेयरी फार्म के संदर्भ में गुणा के कई तरीके सिखाए गए हैं: गुणा का क्रम-विनिमय गुण, 10, 100 और 1,000 से गुणा, आधा करना और दोगुना करना, निकटतम गुणज का उपयोग, तथा निदा, कांति, जॉन और मिली के पिता की विधियों से बड़ी संख्याओं का गुणा।

आइए सोचें

प्र. 2. अंक 2, 5 और 3 को ऐसे रखिए कि गुणनफल 100 के निकट हो (दो अंक × एक अंक)।
उ. सभी विकल्प: 25 × 3 = 75, 52 × 3 = 156, 23 × 5 = 115, 32 × 5 = 160, 35 × 2 = 70, 53 × 2 = 106। सबसे निकट 53 × 2 = 106 है (केवल 6 अधिक)।

गुणा में संख्याओं का क्रम (दलजीत कौर के मक्खन के पैकेट)

2 × 3 = 3 × 2 = 6; 8 × 5 = 5 × 8 = 40; 6 × 13 = 13 × 6 = 78; 12 × 9 = 9 × 12 = 108; 10 × 5 = 5 × 10 = 50; 8 × 20 = 20 × 8 = 160।
समूहों की संख्या और समूह का आकार आपस में बदलने पर भी कुल वही रहता है। 9 × 0 = 0 × 9 = 0; यह किसी भी दो संख्याओं के लिए सही है।

10, 100 और 1,000 से गुणा में प्रतिरूप

(a) 4 × 10 = 40 (b) 20 × 10 = 200 (c) 10 × 40 = 400 (e) 20 × 50 = 1,000 (f) 80 × 10 = 800 (h) 8 × 100 = 100 × 8 = 800 (i) 10 × 100 = 100 × 10 = 1,000

100 × 90 = 9,000; 30 × 20 = 600; 400 × 10 = 4,000; 700 × 4 = 2,800; 60 × 50 = 3,000; 10 × 45 = 450; 700 × 8 = 5,600; 220 × 20 = 4,400; 11 × 300 = 3,300; 80 × 90 = 7,200; 10 × 63 = 630; 40 × 12 = 480

3 × 5,000 = 15,000; 8 × 3,000 = 24,000; 5 × 7,000 = 35,000; 20 × 100 = 2,000; 40 × 500 = 20,000; 60 × 300 = 18,000; 600 × 30 = 18,000; 80 × 900 = 72,000; 70 × 600 = 42,000

प्रतिरूप: 10 से गुणा करने पर हर अंक एक स्थान बाएँ खिसकता है (एक शून्य जुड़ता है), 100 से गुणा करने पर दो स्थान। 30 × 20 = 3 × 2 × 10 × 10 = 6 × 100 = 600।

गुणा के कई तरीके (18 × 5)

बच्चों के सभी तरीके सही हैं और सबका उत्तर 90 है: दोगुना करके (36, 72, फिर 72 + 18), तोड़कर (8 × 5 + 10 × 5), निकटतम गुणज से (20 × 5 − 2 × 5), आधा करके (9 × 5 + 9 × 5), और 18 × 5 = 9 × 10।

आधा करना और दोगुना करना

एक संख्या को आधा और दूसरी को दोगुना करने पर गुणनफल वही रहता है। 3 × 18 = 6 × 9 = 54; 22 × 5 = 11 × 10 = 110।

उत्तर: 14 × 3 = 7 × 6 = 42; 16 × 4 = 8 × 8 = 64; 38 × 5 = 19 × 10 = 190; 35 × 14 = 70 × 7 = 490

(d) 5 × 18 = 10 × 9 = 90; 50 × 28 = 100 × 14 = 1,400; 15 × 22 = 30 × 11 = 330; 25 × 12 = 50 × 6 = 300; 12 × 45 = 6 × 90 = 540; 16 × 45 = 8 × 90 = 720

5 और 25 के साथ यह तरीका क्यों अच्छा है? क्योंकि 5 को दोगुना करने पर 10 और 25 को दो बार दोगुना करने पर 100 बनता है, जिससे गुणा बहुत आसान हो जाता है।

निकटतम गुणज

4 × 19 = 4 × 20 − 4 = 76; 14 × 21 = 14 × 20 + 14 = 294।

(d) 7 × 52 = 7 × 50 + 14 = 364; 12 × 28 = 12 × 30 − 24 = 336; 75 × 31 = 75 × 30 + 75 = 2,325; 99 × 15 = 100 × 15 − 15 = 1,485; 8 × 25 = 200; 22 × 42 = 22 × 40 + 44 = 924

आइए हल करें (रणनीति चुनकर)

1. सभागार: 35 पंक्तियाँ × 42 सीटें = 1,470 लोग
2. प्रिया: 4 किमी × 31 दिन = 124 किमी
3. किताबें: 36 × 48 = 1,728
4. 4 कुर्तों के लिए 16 मी, तो 8 कुर्तों (दोगुने) के लिए 32 मी
5. गोल्लप्पा: 29 गाय × 5 लीटर = 145 लीटर
6. मस्का गौ फार्म: 297 × 18 = 300 × 18 − 3 × 18 = 5,400 − 54 = 5,346 किग्रा चारा

कचरा और खाद बनाना

प्र. 1. एक परिवार हर महीने 35 किग्रा रसोई का कचरा पैदा करता है। एक वर्ष में? उ. 12 × 35 = 12 × 30 + 12 × 5 = 360 + 60 = 420 किग्रा। निदा, कांति और जॉन तीनों के तरीकों में संख्याओं को स्थानीय मान के अनुसार तोड़ा गया है; बस लिखने का ढंग अलग है।

प्र. 2. 150 किग्रा खाद, ₹24 प्रति किग्रा। कितनी बचत? उ. 150 × 24 = ₹3,600।

आइए गुणा करें — अभ्यास

32 × 8 = 240 + 16 = 256; 69 × 45 = 2,700 + 405 = 3,105

1. निदा की तरह: (a) 78 × 4 = 312 (b) 83 × 9 = 747 (c) 67 × 28 = 1,876 (d) 53 × 37 = 1,961

2. कांति की तरह: (a) 94 × 5 = 470 (b) 49 × 6 = 294 (c) 37 × 53 = 1,961 (d) 28 × 79 = 2,212

3. जॉन की तरह: (a) 86 × 3 = 258 (b) 72 × 7 = 504 (c) 94 × 36 = 3,384 (d) 66 × 22 = 1,452

4. शब्द समस्याएँ:
(a) कुल सीटें 8 × 12 = 96; आधी भरी = 48 लोग। 3 और पंक्तियाँ (3 × 12 = 36) भरने पर 48 + 36 = 84 लोग।
(b) चौकों से 24 × 4 = 96 रन, छक्कों से 18 × 6 = 108 रन। कुल = 96 + 108 + 234 + 23 = 461 रन।
(c) बल्ब 15 × 25 = 375, ट्यूबलाइट 12 × 34 = 408; कुल ₹783।
(d) 28 × 350 = ₹9,800।
(e) 86 × 162 = 13,932 किताबें।

डेयरी सहकारी समिति — बड़ी संख्याओं का गुणा

• 268 ग्रामीण, हर एक के पास कम से कम 4 गायें: 268 × 4 = 800 + 240 + 32 = 1,072 गायें (न्यूनतम)
• 453 गिर गायें × 13 लीटर = 1,359 + 4,530 = 5,889 लीटर प्रतिदिन
• घी: ₹574 × 125 किग्रा = 2,870 + 11,480 + 57,400 = ₹71,750 प्रति माह

क्या आप जानते हैं? गिर गुजरात की एक भारतीय गाय नस्ल है जो अधिक दूध देने के लिए जानी जाती है।

1. निदा की तरह: (a) 548 × 6 = 3,288 (b) 682 × 3 = 2,046 (c) 324 × 18 = 5,832 (d) 507 × 23 = 11,661 (e) 190 × 65 = 12,350

2. जॉन की तरह: (a) 123 × 84 = 10,332 (b) 368 × 32 = 11,776 (c) 159 × 324 = 51,516 (d) 239 × 401 = 95,839 (e) 592 × 5 = 2,960 (f) 101 × 22 = 2,222

3. मिली के पिता की विधि से: (a) 807 × 5 = 4,035 (b) 143 × 28 = 4,004 (c) 309 × 9 = 2,781 (d) 450 × 38 = 17,100 (e) 584 × 23 = 13,432 (f) 302 × 13 = 3,926 (g) 604 × 54 = 32,616 (h) 112 × 23 = 2,576 (i) 237 × 19 = 4,503

जाँच करें! (बच्चों के हल सही या गलत?)

• अस्मा (46 × 59): 2,000 + 300 + 360 + 54 = 2,714 — सही (40 × 50, 6 × 50, 40 × 9, 6 × 9)।
• पंकज (203 × 54): उसका उत्तर 135 गलत है; उसने स्थानीय मान (शून्य) छोड़ दिए। सही: 203 × 4 = 812, 203 × 50 = 10,150, कुल 10,962।
• लाडो (38 × 150): 1,900 (38 × 50) + 3,800 (38 × 100) = 5,700 — सही।
• कीरा (193 × 272): दूसरी पंक्ति में 70 × 193 = 13,510 होना चाहिए था, उसने 7 × 193 = 1,351 लिखा। सही उत्तर: 386 + 13,510 + 38,600 = 52,496।

आइए करें — बिना गणना किए पहचानें

• 12 × 17 (= 204) के बराबर: 6 × 34 ✓ (11 × 18 = 198 ✗)
• 18 × 4 (= 72): 9 × 8 ✓, 20 × 4 − 8 ✓
• 26 × 11: “26 × 10 और 26 × 1” ✓, “20 × 11 और 6 × 11” ✓
• 101 × 42: “100 × 42 और 42” ✓ (“100 × 42 और 100” ✗)
• 1001 × 5: “1,000 × 5 और 5” ✓ (1,000 × 6 ✗)
• 247 × 8: 250 × 8 − 24 ✓ (247 × 10 − 247 = 247 × 9 ✗)
• 1999 × 2: 2,000 × 2 − 2 ✓ (2,000 × 2 − 4 ✗)
• 55 × 9: “50 × 9 और 5 × 9” ✓, 55 × 10 − 55 ✓ (54 × 10 ✗)

2. आसान तरीके: (a) 16 × 25 = 4 × 100 = 400 (b) 12 × 125 = 1,500 (c) 24 × 250 = 6,000 (d) 36 × 25 = 9 × 100 = 900 (e) 28 × 75 = 2,100 (f) 300 × 15 = 4,500 (g) 50 × 78 = 3,900 (h) 199 × 63 = 200 × 63 − 63 = 12,537 (i) 128 × 35 = 4,480

4. दी गई जानकारी से (17 × 23 = 391, 8 × 9 = 72): 17 × 24 = 391 + 17 = 408; 17 × 22 = 391 − 17 = 374; 16 × 23 = 391 − 23 = 368; 18 × 23 = 391 + 23 = 414; 18 × 9 = 72 + 90 = 162; 28 × 9 = 252; 108 × 9 = 972

अनुमान से मिलान: 25 × 31 → 750; 132 × 19 → 2,600; 101 × 11 → 1,000; 248 × 49 → 12,500; 12 × 25 → 300

राजा का इनाम

उ. यदि हर मंत्री के सिक्के 7 दिन तक रोज़ गुणा होते हैं: मंत्री 1 = 5 → 10 → 20 → 40 → 80 → 160 → 320 → 640; मंत्री 2 = 3 → 9 → 27 → 81 → 243 → 729 → 2,187 → 6,561; मंत्री 3 = 1 → 5 → 25 → 125 → 625 → 3,125 → 15,625 → 78,125। सबसे अधिक सिक्के मंत्री 3 को मिले, जबकि उसने सबसे कम (1 सिक्के) से शुरुआत की थी।

गुणा के प्रतिरूप

1. (a) 16 × 44 = 704 → 8 × 88 = 704 (एक आधा, एक दोगुना); 8 × 22 = 176 (दोनों आधे, गुणनफल चौथाई); 16 × 22 = 352; 32 × 44 = 1,408।
(b) 12 × 32 = 384 → 6 × 16 = 96; 24 × 16 = 384; 24 × 64 = 1,536; 12 × 16 = 192।

2. 1111 × 1111 = 12,34,321; 11 × 54 = 594; 11 × 82 = 902; 45 × 45 = 2,025; 55 × 55 = 3,025; 1,234 × 9 + 4 = 11,110

आइए हल करें (अंतिम अभ्यास)

1. 3 किताबें ₹150 की, तो 18 किताबें = 6 × 150 = ₹900। ₹20 बचे, इसलिए शुरू में ₹920 थे।

2. (a) टिकट 57 × 115 = ₹6,555; टीम शुल्क 3 × 1,599 = ₹4,797; कुल ₹11,352। (b) खर्च 1,750 + 1,129 = ₹2,879।

3. (a) पंक्तियाँ = 12 + 17 + 1 (अनन्या की पंक्ति) = 30 (b) अनन्या की पंक्ति में 18 + 22 + 1 = 41 (c) कुल 30 × 41 = 1,230 (अनन्या सहित)।

4. (a) 67 × 78 = 5,226 (b) 34 × 56 = 1,904 (c) 45 × 263 = 11,835 (d) 86 × 542 = 46,612 (e) 432 × 107 = 46,224 (f) 310 × 120 = 37,200

5. 67 × 68 = 67 × 67 + 67 = 4,489 + 67 = 4,556। 6. 99 × 99 = 99 × 100 − 99 = 9,900 − 99 = 9,801।

अध्याय 7: आकार और प्रतिरूप — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में कागज़ की पट्टियों से चटाई बुनना, टाइलिंग (tessellation), त्रिभुज के प्रकार (समद्विबाहु, समबाहु, विषमबाहु), चतुर्भुज (पतंग, समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग), टैंग्राम, वृत्त डिज़ाइन, घन और ठोस आकृतियाँ (इकोसाहीड्रॉन, डोडेकाहीड्रॉन) सिखाई गई हैं।

चटाई बुनना

सादी चटाई का प्रतिरूप: पंक्ति 1 — 1 नीचे, 1 ऊपर (दोहराएँ); पंक्ति 2 — 1 ऊपर, 1 नीचे (दोहराएँ)। दूसरी चटाई (प्रश्न 2): पंक्ति 1 — 2 ऊपर, 1 नीचे; पंक्ति 2 — 2 नीचे, 1 ऊपर। अपने डिज़ाइन के लिए हर पंक्ति का नियम तब तक लिखें जब तक पैटर्न दोहराना शुरू न हो जाए।

टाइलिंग और टेसेलेशन

जिन आकृतियों की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, उन्हें सम (regular) आकृतियाँ कहते हैं। किसी बिंदु के चारों ओर बिना रिक्त स्थान और बिना एक-दूसरे पर चढ़े फिट हो जाना टेसेलेशन है।

प्र. क्या पाँच वर्ग एक बिंदु के चारों ओर फिट हो सकते हैं? उ. नहीं। चार वर्ग ही बिंदु के चारों ओर की पूरी जगह भर देते हैं (हर वर्ग का कोना ¼ घुमाव है और 4 × ¼ = पूरा घुमाव), इसलिए पाँचवाँ वर्ग किसी दूसरे वर्ग पर चढ़ (ओवरलैप हो) जाएगा।

त्रिभुजों के प्रकार (समचतुर्भुज के टुकड़ों से)

• समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles): 2 भुजाएँ बराबर। आधा मोड़ने पर दिखता है कि इसके 2 कोण भी बराबर होते हैं।
• समबाहु त्रिभुज (equilateral): तीनों भुजाएँ बराबर, और तीनों कोण भी बराबर।
• विषमबाहु त्रिभुज (scalene): कोई भुजा बराबर नहीं, और कोई कोण भी बराबर नहीं। समबाहु त्रिभुज को बीच से आधा काटने पर मिलने वाले त्रिभुज की कोई भी दो भुजाएँ बराबर नहीं होतीं, यानी वह विषमबाहु होता है।

चतुर्भुज: पतंग, समांतर चतुर्भुज और आयत

• पतंग (kite): दो जोड़ी संलग्न (आस-पास की) भुजाएँ बराबर (भुजा 1 = भुजा 2, भुजा 3 = भुजा 4)।
• समांतर चतुर्भुज (parallelogram): सम्मुख (आमने-सामने की) भुजाएँ बराबर। समांतर चतुर्भुज A में सम्मुख कोण बराबर हैं।
• आयत: समांतर चतुर्भुज B के सभी कोण समकोण हैं। आयत एक विशेष प्रकार का समांतर चतुर्भुज है।

टैंग्राम: टैंग्राम सेट में 7 टुकड़े होते हैं — 5 त्रिभुज (2 बड़े, 1 मध्यम, 2 छोटे), 1 वर्ग और 1 समांतर चतुर्भुज। सभी त्रिभुजों में एक समकोण होता है।

मैं कौन-सी आकृति हूँ?

हाँ, कुछ कथन एक से अधिक आकृतियों पर लागू होते हैं, क्योंकि वर्ग एक विशेष आयत भी है और विशेष समचतुर्भुज भी।

वृत्त डिज़ाइन

प्र. वृत्त के दो व्यासों के चार सिरे जोड़ने पर कौन-सी आकृति बनती है? उ. हमेशा आयत बनता है (सभी कोण समकोण, सम्मुख भुजाएँ बराबर)। यदि दोनों व्यास एक-दूसरे को समकोण पर काटें तो वर्ग बनता है। इस तरीके से आयत के अलावा कोई दूसरा 4-भुजाओं वाला आकार नहीं बनता।

घन के संबंध

प्र. 3. निशा ने 27 छोटे घन जोड़कर बड़ा घन बनाया और उसे लाल रंग दिया।
उ. (a) तीन फलक लाल: 8 (कोनों वाले) (b) दो फलक लाल: 12 (किनारों के बीच वाले) (c) एक फलक लाल: 6 (हर फलक के बीच वाला) (d) कोई फलक लाल नहीं: 1 (बिल्कुल बीच वाला)। जाँच: 8 + 12 + 6 + 1 = 27।

पहेली: तनु की 7 आकृतियाँ

उ. बाएँ से दाएँ: वृत्त – वर्ग – आयत – त्रिभुज – वर्ग – त्रिभुज – षट्भुज। जाँच: पहला वर्ग वृत्त और आयत के बीच है; आयत वर्ग और त्रिभुज के बीच है; दूसरे वर्ग के दोनों ओर त्रिभुज हैं; षट्भुज त्रिभुज के दाएँ है; वृत्त वर्ग के बाएँ है।

इकोसाहीड्रॉन और डोडेकाहीड्रॉन

नाम का अर्थ: “इकोसा” = 20 और “डोडेका” = 12 (फलकों की संख्या)। किनारे गिनने का तरीका: हर फलक के किनारे जोड़ें और 2 से भाग दें, क्योंकि हर किनारा दो फलकों में साझा होता है (20 × 3 ÷ 2 = 30; 12 × 5 ÷ 2 = 30)। दूसरे उदाहरण: घन (6 वर्ग, हर शीर्ष पर 3)।

अध्याय 8: भार और धारिता — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय के दो भाग हैं: भार (वज़न) — मिलीग्राम, ग्राम, किलोग्राम, क्विंटल और टन; तथा धारिता — मिलीलीटर और लीटर। दोनों में रूपांतरण, तुलना, जोड़-घटाव और गुणा-भाग के प्रश्न हैं।

मुख्य संबंध: 1,000 मिग्रा = 1 ग्रा; 1,000 ग्रा = 1 किग्रा; 100 किग्रा = 1 क्विंटल; 10 क्विंटल = 1 टन = 1,000 किग्रा; 1,000 मिली = 1 लीटर।

जाँच करें! (अनु का रिकॉर्ड)

उ. सही (✓): पलंग 60 किग्रा, चावल का बोरा 5 किग्रा, बाल्टी 1 किग्रा 800 ग्रा, पानी की बोतल 650 ग्रा। गलत: लोहे की अलमारी 40 ग्राम, सोफ़ा 30 ग्राम और फ़्रिज 50 ग्राम नहीं हो सकते; ये किलोग्राम में होने चाहिए (40 किग्रा, 30 किग्रा, 50 किग्रा)।

अलग इकाई, समान माप

2 किग्रा = 2,000 ग्रा; 3 किग्रा = 3,000 ग्रा; 5 किग्रा = 5,000 ग्रा; 6 किग्रा = 6,000 ग्रा; 10 किग्रा = 10,000 ग्रा; 25 किग्रा = 25,000 ग्रा; 30 किग्रा = 30,000 ग्रा। (किग्रा को ग्राम में बदलने के लिए 1,000 से गुणा करें।)

श्रेनु का केक: 3 किग्रा 500 ग्रा = 3,500 ग्रा; 2 किग्रा 250 ग्रा = 2,250 ग्रा।

प्र. 1. शमीम और रेहान: 5 किग्रा 50 ग्राम चीनी कितने ग्राम? उ. 5 × 1,000 + 50 = 5,050 ग्रा। जिसने 5,050 ग्रा कहा वह सही है; 5,500 ग्रा गलत है क्योंकि 50 ग्रा को 500 ग्रा मान लिया गया।

प्र. 2. रूपांतरण। उ. (a) 7 किग्रा 67 ग्रा = 7,067 ग्रा (b) 3 किग्रा 300 ग्रा = 3,300 ग्रा (c) 8 किग्रा 69 ग्रा = 8,069 ग्रा (d) 10,760 ग्रा = 10 किग्रा 760 ग्रा (e) 4,080 ग्रा = 4 किग्रा 80 ग्रा (f) 12,042 ग्रा = 12 किग्रा 42 ग्रा

भारों की तुलना

प्र. 1. हरप्रीत की पिकनिक के फल। उ. (a) सबसे भारी: तरबूज़ (3 किग्रा) (b) सबसे हल्का: सेब (1 किग्रा 250 ग्रा) (c) घटता क्रम: तरबूज़ (3 किग्रा), आम (2 किग्रा), अनानास (1 किग्रा 750 ग्रा), सेब (1 किग्रा 250 ग्रा)।

प्र. 2. <, =, > लगाइए। उ. (a) 1 किग्रा 600 ग्रा < 1,700 ग्रा (b) 1 किग्रा 600 ग्रा > 1 किग्रा 60 ग्रा (c) 10 किग्रा 35 ग्रा = 10,035 ग्रा (d) 1 किग्रा 600 ग्रा < 2 किग्रा 500 ग्रा (e) 5 किग्रा 50 ग्रा (5,050 ग्रा) > 4 किग्रा 500 ग्रा (4,500 ग्रा) (f) 900 ग्रा + 7,000 ग्रा = 7 किग्रा + 900 ग्रा

मिलीग्राम

चींटियों का वज़न 1 से 5 मिलीग्राम के बीच होता है, पर वे अपने वज़न से कहीं अधिक भार उठा सकती हैं। 1 ग्रा = 1,000 मिग्रा।

उत्तर: 1. चीनी का पैकेट 5 ग्रा = 5,000 मिग्रा। 2. 5 ग्रा = 5,000 मिग्रा; 20 ग्रा = 20,000 मिग्रा; 25 ग्रा = 25,000 मिग्रा; 31 ग्रा = 31,000 मिग्रा। 3. 4 ग्रा 100 मिग्रा = 4,100 मिग्रा। 4. 10 ग्रा 500 मिग्रा = 10,500 मिग्रा।

5. तुलना: (a) 20 ग्रा > 200 मिग्रा (b) 16 ग्रा 50 मिग्रा < 50 ग्रा 16 मिग्रा (c) 2,010 मिग्रा < 2 ग्रा 100 मिग्रा (2,100 मिग्रा) (d) 9,000 मिग्रा (9 ग्रा) < 90 ग्रा (e) 5,000 ग्रा < 7,500 ग्रा (f) 800 + 88 = 888 मिग्रा = 880 + 8 मिग्रा

7. क्विंटल और टन: (a) 5,000 किग्रा = 50 क्विंटल = 5 टन (b) 9,000 किग्रा = 90 क्विंटल (c) 8,000 किग्रा = 8 टन

राजा का वज़न (वज़न का 10 गुना गेहूँ दान): (a) 800 ÷ 10 = 80 किग्रा (b) 780 ÷ 10 = 78 किग्रा (c) 80 − 78 = 2 किग्रा वज़न बढ़ा।

किराना दुकान — भार का जोड़-घटाव

रत्ना का चावल: 2 किग्रा 500 ग्रा + 1 किग्रा 750 ग्रा = 4 किग्रा 250 ग्रा। घरेलू उपयोग का चावल पोंगल वाले से 2 किग्रा 500 ग्रा − 1 किग्रा 750 ग्रा = 750 ग्रा अधिक था।

1. प्याज़: 5 किग्रा 200 ग्रा + 8 किग्रा 900 ग्रा + 12 किग्रा 600 ग्रा = 26 किग्रा 700 ग्रा
2. सेब: 2 किग्रा 100 ग्रा + 3 किग्रा 950 ग्रा = 6 किग्रा 50 ग्रा
3. रेत: 10 किग्रा − 4 किग्रा 500 ग्रा = 5 किग्रा 500 ग्रा
4. चावल: 9 किग्रा 750 ग्रा − 3 किग्रा 700 ग्रा = 6 किग्रा 50 ग्रा
5. सामान: 17 किग्रा 900 ग्रा + 12 किग्रा 700 ग्रा = 30 किग्रा 600 ग्रा
6. किताबें: 14 किग्रा 750 ग्रा − 10 किग्रा 500 ग्रा = 4 किग्रा 250 ग्रा
7. गुरुद्वारे का लंगर: 65 किग्रा − 42 किग्रा 275 ग्रा = 22 किग्रा 725 ग्रा; इसमें 52 किग्रा 500 ग्रा जोड़ने पर 75 किग्रा 225 ग्रा आटा

भार पर गुणा और भाग

4 बोरे × 10 किग्रा 500 ग्रा = 40 किग्रा + 2,000 ग्रा = 42 किग्रा।

(सभी वस्तुओं का कुल बिल ₹1,827 होगा।)

अन्य उत्तर: 4 किग्रा 800 ग्रा काजू को 4 डिब्बों में बांटने पर हर डिब्बा 1 किग्रा 200 ग्रा = 1,200 ग्रा; 4 लोगों के लिए 500 ग्रा चावल, तो 8 लोगों के लिए 1,000 ग्रा (1 किग्रा); 5 किग्रा टमाटर ₹73, तो 10 किग्रा ₹146।

कबाड़ीवाले नितेश: (a) 16 × ₹8 = ₹128 (b) 10 किग्रा लोहा ₹200, तो 20 किग्रा ₹400 (c) 5 किग्रा प्लास्टिक ₹30, तो 10 किग्रा ₹60

धारिता का मापन

प्र. 2 कप चाय के लिए 1 लीटर पानी चाहिए? उ. नहीं, 1 लीटर बहुत अधिक है; 2 कप चाय के लिए 500 मिली से कम पानी-दूध भी काफ़ी होता है।

प्र. “एक बाल्टी में अधिकतम 20 मिली पानी आता है” — क्या सही है? उ. नहीं। बाल्टी की धारिता लीटर में मापी जाती है, जैसे 20 लीटर।

रमीज़: 500 मिली + 500 मिली = 1,000 मिली = 1 लीटर। मुस्कान: 3 लीटर = 3,000 मिली; 500 मिली की बोतल 6 बार भरनी होगी।

दूधवाले की डिलीवरी

भालेराव परिवार: 2 लीटर = 2,000 मिली का निशान। साप्ताहिक डिलीवरी: अरोड़ा 8 ली = 8,000 मिली; नायर 14 ली = 14,000 मिली; श्रीवास्तव 12,000 मिली = 12 ली; दास 20,000 मिली = 20 ली; राव 25,000 मिली = 25 ली।

मैरी और डेज़ी: 1 ली 400 मिली = 1,400 मिली सही है (1,040 मिली गलत)।

रूपांतरण: (a) 3 ली 8 मिली = 3,008 मिली (b) 9 ली 90 मिली = 9,090 मिली (c) 14,075 मिली = 14 ली 75 मिली (d) 8 ली 86 मिली = 8,086 मिली (e) 12,200 मिली = 12 ली 200 मिली (f) 18,350 मिली = 18 ली 350 मिली

किरण का पेट्रोल पंप

ट्रक 3 × 500 = 1,500 ली; बस 6 × 300 = 1,800 ली; कार 10 × 50 = 500 ली; ऑटोरिक्शा 12 × 8 = 96 ली; दोपहिया 25 × 5 = 125 ली।
(a) बसों के लिए ट्रकों से 1,800 − 1,500 = 300 लीटर अधिक (b) कुल = 4,021 लीटर

तुलना: (a) 5 ली 600 मिली > 5,400 मिली (b) 10 ली 100 मिली > 1 ली 600 मिली (c) 190 + 800 = 990 मिली > 800 + 109 = 909 मिली (d) 3 ली 600 मिली = 3,600 मिली (e) 4 ली 50 मिली < 4 ली 500 मिली

सैम और टीना: सैम ने 2 ली 500 मिली + 2 ली 800 मिली = 5 ली 300 मिली पेट्रोल लिया। भरवाने के बाद 9 ली, तो पहले 9 ली − 5 ली 300 मिली = 3 ली 700 मिली था।

आइए हल करें

1. रिया: 2 ली + 4 × 500 मिली = 4 ली; आरव: 3 × 750 मिली = 2 ली 250 मिली। रिया ने 1 ली 750 मिली अधिक भरा।
2. (a) 8 × 360 मिली = 2,880 मिली (b) गिलास पूरे भरे मानने पर 2,880 + 120 = 3,000 मिली (3 ली) (c) 3 × ₹40 = ₹120
3. (a) 5,000 ÷ 250 = 20 गिलास (b) 10 गिलास (2,500 मिली) के बाद 2 ली 500 मिली बचा (c) 20 × ₹25 = ₹500
4. 8 ली 400 मिली = 8,400 मिली ÷ 7 = 1,200 मिली = 1 ली 200 मिली हर डिब्बे में
5. 8 × 1 ली 75 मिली = 8 ली + 600 मिली = 8 ली 600 मिली

अध्याय 9: नारियल का खेत — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में केरल के नारियल खेत के संदर्भ में भाग सिखाया गया है: गुणा और भाग का संबंध, 10 और 100 से भाग के प्रतिरूप, मानसिक रणनीतियाँ, आंशिक भाजफल (सूज़ी और सुनीता की विधि), शेषफल और स्थानीय मान से भाग। मुख्य सूत्र: भाज्य (N) = भाजक (D) × भागफल (Q) + शेषफल (R)।

भाग के तथ्य

5 × 7 = 35 से दो भाग तथ्य: 35 ÷ 5 = 7 और 35 ÷ 7 = 5। 35 ÷ 1 = 35।

आइए करें 1: 30 × 30 = 900 → 900 ÷ 30 = 30। 400 × 8 = 3,200 → 3,200 ÷ 8 = 400, 3,200 ÷ 400 = 8। 15 × 60 = 900 → 900 ÷ 15 = 60, 900 ÷ 60 = 15। 200 × 16 = 3,200 → 3,200 ÷ 16 = 200, 3,200 ÷ 200 = 16।

भाग और स्थानीय मान के प्रतिरूप

50 × 3 = 150; 10 × 100 = 1,000; 5 × 100 = 500; 44 × 10 = 440; 37 × 100 = 3,700

150 ÷ 3 = 50; 1000 ÷ 10 = 100; 100 ÷ 10 = 10; 2000 ÷ 2 = 1,000; 200 ÷ 20 = 10; 3300 ÷ 3 = 1,100; 80 ÷ 4 = 20; 1000 ÷ 100 = 10; 300 ÷ 100 = 3; 2000 ÷ 20 = 100; 440 ÷ 44 = 10; 3300 ÷ 300 = 11; 500 ÷ 5 = 100; 1600 ÷ 4 = 400; 500 ÷ 50 = 10; 3700 ÷ 37 = 100; 630 ÷ 63 = 10; 4000 ÷ 40 = 100

प्रतिरूप: भाज्य 10 गुना हो और भाजक वही रहे तो भागफल 10 गुना हो जाता है; दोनों 10 गुना हों तो भागफल वही रहता है।

तालिका: 700 ÷ 70 = 10; 1400 ÷ 100 = 14; 220 ÷ 20 = 11; 2200 ÷ 20 = 110; 110 ÷ 11 = 10; 860 ÷ 86 = 10; 7500 ÷ 750 = 10; 8800 ÷ 88 = 100; 2400 ÷ 24 = 100; 440 ÷ 22 = 20

आइए करें

1. सबीना: 160 ÷ 20 = 8 किमी प्रतिदिन
2. सीमा: 4,200 ÷ 100 = ₹100 के 42 नोट
3. ₹5,500 ÷ 5 = ₹1,100 प्रति कर्मचारी। 10 में बाँटने पर ₹550 (कम) मिलेंगे। 10 कर्मचारियों को ₹1,100 देने के लिए ₹11,000 चाहिए।
4. प्रश्न 5: (a) 1,800 ÷ 18 = 100 (b) 6,100 ÷ 10 = 610 (c) 7,200 ÷ 100 = 72 (d) 1,000 ÷ 100 = 10 (e) 870 ÷ 10 = 87 (f) 7,000 ÷ 100 = 70 (g) 200 ÷ 100 = 2 (h) 130 ÷ 10 = 13

भाग की मानसिक रणनीतियाँ

1248 ÷ 6 = 1200 ÷ 6 + 48 ÷ 6 = 200 + 8 = 208; 1992 ÷ 4 = 2000 ÷ 4 − 8 ÷ 4 = 500 − 2 = 498; 128 ÷ 4: दो बार आधा → 64 → 32।

प्रयास करें: 64 ÷ 4 = 16 (32, 16); 265 ÷ 5 = 250 ÷ 5 + 15 ÷ 5 = 53; 1560 ÷ 8 = 1600 ÷ 8 − 40 ÷ 8 = 200 − 5 = 195; 4824 ÷ 24 = 4800 ÷ 24 + 24 ÷ 24 = 201; 168 ÷ 8 = तीन बार आधा (84, 42, 21) = 21; 144 ÷ 4 = (72, 36) = 36। बार-बार आधा करने की विधि 2, 4, 8, 16 जैसे भाजकों के लिए काम करती है।

सूज़ी का खेत (केरल)

प्र. 1. 582 नारियल 6 ग्राहकों में बराबर बेचे। उ. 582 ÷ 6 = 97 नारियल प्रति ग्राहक। सूज़ी ने 120-120 के छोटे हिस्से घटाए (20 + 20 + 20 + 20 + 10 + 7), जबकि सुनीता ने अनुमान लगाकर सीधे 540 (90 × 6) घटाया (90 + 7)। सुनीता की विधि में कम चरण हैं। 97 नारियल 25-25 के थैलों में: 3 थैले = 75, बचे 22 के लिए एक और, यानी 4 थैले।

आइए हल करें: (a) 256 ÷ 4 = 64 (b) 545 ÷ 5 = 109 (c) 147 ÷ 7 = 21 (d) 1212 ÷ 6 = 202 (e) 648 ÷ 12 = 54 (f) 9648 ÷ 48 = 201 (g) 775 ÷ 25 = 31 (h) 796 ÷ 4 = 199

प्र. 2. बचे नारियल 25-25 के थैलों में। उ. 1,117 − 582 = 535; 535 ÷ 25 = 21 शेष 10। 21 भरे थैले + 1 और = 22 थैले।

शेषफल: 726 = 4 × 181 + 2; 902 = 16 × 56 + 6।

शब्द समस्याएँ

1. 250 मेहमान, हर एक को एक समोसा: 6 वाले पैक → 250 ÷ 6 = 41 शेष 4, यानी 42 पैक (252 समोसे, केवल 2 अधिक)। 8 वाले पैक → 31 शेष 2, यानी 32 पैक (256 समोसे, 6 अधिक)। इसलिए 6 वाले पैक बेहतर हैं। (दोनों मिलाकर ठीक 250: 8 के 29 पैक + 6 के 3 पैक।)
2. 342 ÷ 41 = 8 शेष 14, इसलिए 9 बसें।
3. ₹520 के संभव जोड़ (₹50, ₹20): (0, 26), (2, 21), (4, 16), (6, 11), (8, 6), (10, 1)। जैसे ₹50 के 8 + ₹20 के 6 = 400 + 120 = 520।
4. 157 + 124 + 136 = 417; 417 ÷ 3 = ₹139 प्रति व्यक्ति।
5. (a) 887 ÷ 3 = 295 शेष 2 (b) 283 ÷ 8 = 35 शेष 3 (c) 745 ÷ 5 = 149 शेष 0 (d) 767 ÷ 26 = 29 शेष 13 (e) 530 ÷ 41 = 12 शेष 38 (f) 888 ÷ 67 = 13 शेष 17। जाँच: 26 × 29 + 13 = 754 + 13 = 767।

कल्पवृक्ष नारियल तेल

• 8 नारियल से 1 ली तेल: 4,376 ÷ 8 = 547 लीटर। ₹175 प्रति लीटर पर कमाई = 547 × 175 = ₹95,725।
• जटा (कॉयर) ₹23 प्रति किग्रा: 9,913 ÷ 23 = 431 किग्रा।
• इब्राहिम: 8,890 ÷ 35 = 254 नारियल। खरीद 254 × ₹20 = ₹5,080; अतिरिक्त कमाई = 8,890 − 5,080 = ₹3,810।

स्थानीय मान से भाग

62 ÷ 5 = 12 शेष 2; 75 ÷ 8 = 9 शेष 3; 324 ÷ 3 = 108 (2 दहाइयाँ 3 में नहीं बँटतीं, इसलिए भागफल में दहाई पर 0); 136 ÷ 6 = 22 शेष 4।

7,032 ÷ 6 = 1,172; 3,005 ÷ 5 = 601 (दहाई के स्थान पर 0 लिखना ज़रूरी); 2,874 ÷ 14 = 205 शेष 4; 9,805 ÷ 32 = 306 शेष 13।

मैं कौन-सी संख्या हूँ? (5 से भाग → 42, 2 से गुणा → 420) उ. 210 (42 × 5 = 210 और 210 × 2 = 420)।

आइए हल करें (अंतिम अभ्यास)

1. (a) 475 ÷ 45 = 10 शेष 25, इसलिए 11 शो (b) दिन में 2 शो के हिसाब से 6 दिन।
2. 5 किग्रा − 400 ग्रा = 4,600 ग्रा; 4,600 ÷ 23 = 200 ग्रा प्रति मित्र।
3. 15 × 8 = 120 बिस्किट; 120 ÷ 6 = 20 प्रति व्यक्ति; 20 ÷ 4 = 5 बिस्किट प्रतिदिन।
4. (a) 9,045 ÷ 5 = 1,809 (b) 1,034 ÷ 4 = 258 शेष 2 (c) 2,504 ÷ 7 = 357 शेष 5 (d) 8,900 ÷ 15 = 593 शेष 5 (e) 9,876 ÷ 32 = 308 शेष 20 (f) 7,506 ÷ 24 = 312 शेष 18
5. A: 340 ÷ 17 = 20; 680 ÷ 17 = 40; 680 ÷ 34 = 20; 170 ÷ 17 = 10; 680 ÷ 68 = 10। B: 192 ÷ 8 = 24; 384 ÷ 8 = 48; 384 ÷ 4 = 96; 86 ÷ 2 = 43। C: 704 ÷ 22 = 32; 704 ÷ 11 = 64; 352 ÷ 22 = 16; 1,408 ÷ 44 = 32।
6. (a) 576 ÷ 12 = 48 किमी प्रतिदिन। (b) इसके लिए पुस्तक के मानचित्र में दी गई रत्नागिरि–गोवा दूरी को 4 से भाग दें।
7. गायब जानकारी: (a) एक आम या टोकरी का दाम (b) कुल डेस्क की संख्या (c) कुछ गायब नहीं: ₹3,500 ÷ 5 = ₹700 (d) एक इडली का दाम (एक प्लेट का दाम 6,250 ÷ 125 = ₹50 निकलता है)।
8. बुकशेल्फ: लंबे पैनल 264 ÷ 4 = 66; छोटे 306 ÷ 8 = 38; छोटी क्लिप 2400 ÷ 16 = 150; बड़ी क्लिप 120 ÷ 4 = 30; पेच 2800 ÷ 32 = 87। सबसे कम संख्या सीमा तय करती है, इसलिए 30 बुकशेल्फ (बड़ी क्लिप कम पड़ेंगी)।

सब्ज़ी मंडी (मुंशी लाल की बही)

कुल कमाई = ₹9,185।

भाग कीजिए (N = D × Q + R से जाँचें): 1. 506 ÷ 5 = 101 शेष 1 2. 918 ÷ 8 = 114 शेष 6 3. 8,126 ÷ 7 = 1,160 शेष 6 4. 9,324 ÷ 4 = 2,331 5. 876 ÷ 6 = 146 6. 7,008 ÷ 3 = 2,336 7. 934 ÷ 12 = 77 शेष 10 8. 829 ÷ 23 = 36 शेष 1 9. 705 ÷ 18 = 39 शेष 3 10. 8,704 ÷ 32 = 272 11. 6,790 ÷ 45 = 150 शेष 40 12. 5,074 ÷ 21 = 241 शेष 13

गणितीय कथन

1. सही/गलत: (a) 8 × 9 = 70 + 2 → 72 = 72, सही (b) 20 − 6 = 7 × 3 → 14 ≠ 21, गलत (c) 48 ÷ 3 = 4 × 4 → 16 = 16, सही (d) 89 − 9 = 90 + 0 → 80 ≠ 90, गलत (e) 25 + 10 = 45 − 10 → 35 = 35, सही

2. (a) 7 × 6 = 25 + 17 (b) 87 + 6 = 3 × 31 (c) 63 + 7 = 74 − 4 (d) 72 ÷ 9 = 16 ÷ 2

3. (a) दो विषम संख्याओं का योग हमेशा सम होता है (3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24, 15 + 1 = 16, 21 + 9 = 30); इसका कोई उलटा उदाहरण नहीं मिलता। (b) 2 से गुणा करने पर हमेशा सम संख्या मिलती है, इसलिए विषम संख्या का कोई उदाहरण नहीं मिलेगा। (c) आधा करने पर सम: 8 → 4, 12 → 6, 20 → 10; पर हमेशा नहीं: 6 → 3, 10 → 5, 14 → 7।

4. किसी संख्या में 10 जोड़ने से 10 का गुणज मिलता है — कभी-कभी (केवल तब जब संख्या खुद 10 का गुणज हो)। घटाव में क्रम बदलने से कोई अंतर नहीं पड़ता — कभी-कभी (केवल तब जब दोनों संख्याएँ बराबर हों)। गुणा में एक को दोगुना और दूसरे को आधा करने से गुणनफल वही रहता है — हमेशा। विषम संख्या से गुणा करने पर सम संख्या — कभी-कभी (सम × विषम = सम, विषम × विषम = विषम)। 5 से गुणा करने पर इकाई का अंक 0 — कभी-कभी (सम संख्याओं में 0, विषम में 5)।

अध्याय 10: सममितीय अभिकल्पनाएँ — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में परावर्तन सममिति (दर्पण/मोड़ने वाली सममिति, सममिति रेखा) और घूर्णन सममिति (घुमाने पर वैसा ही दिखना) को अक्षरों के कटआउट, फिरकी, अंकों और राजस्थान की ब्लॉक प्रिंटिंग से समझाया गया है।

अक्षरों के कटआउट

अक्षर A में एक ऊर्ध्वाधर (खड़ी) सममिति रेखा है, इसलिए काग़ज़ को आधा मोड़कर आधा A काटने से पूरा A बन जाता है। H में दो सममिति रेखाएँ हैं, इसलिए काग़ज़ को चौथाई मोड़कर चौथाई H काटना काफ़ी है।

प्र. E, N, X, T, K, V, O में से किन्हें आधा या चौथाई बनाकर काटा जा सकता है?
उ. क्षैतिज (आड़ी) सममिति रेखा: E, K, X, O। ऊर्ध्वाधर (खड़ी) सममिति रेखा: X, T, V, O। दोनों: X, O (इन्हें चौथाई बनाकर काट सकते हैं)। E, K, T, V आधा बनाकर कटते हैं। N में कोई सममिति रेखा नहीं, इसलिए इसे इस तरह नहीं काटा जा सकता (पर N आधे घुमाव पर वैसा ही दिखता है)।

फिरकी (पवन-चक्की) और घूर्णन सममिति

प्र. क्या फिरकी ¼, ½, ¾ और पूरे घुमाव के बाद एक जैसी दिखती है? उ. हाँ। इसलिए फिरकी में घूर्णन सममिति है (पूरे घुमाव में 4 बार वैसी ही दिखती है)। H अक्षर आधे घुमाव पर वैसा ही दिखता है।

अंकों में सममिति

उ. (सीधी रेखाओं वाले डिजिटल अंकों के आधार पर) परावर्तन सममिति: 0, 1, 3, 8। घूर्णन सममिति (आधा घुमाव): 0, 1, 8 (और 2, 5 भी डिजिटल रूप में)। दोनों: 0, 1, 8। अक्षर लिखने के ढंग से उत्तर थोड़ा बदल सकता है, इसलिए काग़ज़ पर जाँचकर लिखें।

“||” और “|00|” में दोनों सममितियाँ हैं। उदाहरण: दोनों सममिति — 11, 88, 101, 808, 1001, 8118; केवल घूर्णन — 69, 619, 6699 (6 उलटने पर 9 बन जाता है)।

डिज़ाइन बनाना और ब्लॉक प्रिंटिंग

• वर्ग को दो रंगों से ऐसे रंगें कि हर ¼ घुमाव के बाद वैसा ही दिखे: चारों कोनों के छोटे वर्ग एक रंग के और बाकी दूसरे रंग के। ऐसा डिज़ाइन पूरे घुमाव में 4 बार एक जैसा दिखता है।
• ब्लॉक प्रिंटिंग राजस्थान का पारंपरिक शिल्प है, जिसमें नक्काशीदार लकड़ी के ब्लॉक से कपड़े पर छपाई होती है। एक ब्लॉक को ¼-¼ घुमाकर 4 बार छापने से बना डिज़ाइन A हर ¼ घुमाव के बाद एक जैसा दिखता है (घूर्णन सममिति)।

अध्याय 11: दादी माँ की रजाई — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में रजाई और दरी के संदर्भ में परिमाप (किनारे की लंबाई) और क्षेत्रफल (घेरा गया स्थान) सिखाए गए हैं। किसी सतह का क्षेत्रफल नापने के लिए उसे ऐसी आकृतियों से ढकते हैं जो बिना रिक्त स्थान और बिना ओवरलैप के फिट हों (वर्ग, आयत, त्रिभुज)। वृत्त बिना रिक्त स्थान के नहीं फिट होते, इसलिए उनसे क्षेत्रफल नहीं नापा जाता। 1 इकाई भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई होता है।

सूत्र

• आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई; परिमाप = 2 × लंबाई + 2 × चौड़ाई
• वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा; परिमाप = 4 × भुजा
• उदाहरण: 6 सेमी × 4 सेमी की पैचवर्क = 24 वर्ग सेमी (6 पंक्तियों में 4-4 पैच); 5 सेमी भुजा वाला वर्ग: क्षेत्रफल 25 वर्ग सेमी, परिमाप 20 सेमी

आइए करें — परिमाप

प्र. 2. दिए गए परिमाप वाले दो-दो आयत बनाइए। उ. (a) 26 सेमी: लंबाई + चौड़ाई = 13, जैसे 9 सेमी × 4 सेमी और 8 सेमी × 5 सेमी। (b) 18 सेमी: लंबाई + चौड़ाई = 9, जैसे 5 सेमी × 4 सेमी और 6 सेमी × 3 सेमी। (आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई), इसलिए परिमाप का आधा = लंबाई + चौड़ाई।)

क्षेत्रफल और परिमाप का संबंध

प्र. तृषा कहती है “मैंने आयत का क्षेत्रफल बढ़ाया, तो परिमाप भी बढ़ गया।” क्या यह हमेशा सही है? उ. नहीं। 8 सेमी × 1 सेमी के आयत का क्षेत्रफल 8 वर्ग सेमी और परिमाप 18 सेमी है; 4 सेमी × 4 सेमी के वर्ग का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेमी (अधिक) पर परिमाप केवल 16 सेमी (कम) है। यानी समान क्षेत्रफल वाली आकृतियों के परिमाप अलग हो सकते हैं, और समान परिमाप वाली आकृतियों के क्षेत्रफल अलग हो सकते हैं।

आइए करें — क्षेत्रफल

प्र. 4. 42 मी लंबे और 34 मी चौड़े खेत का क्षेत्रफल। उ. 42 × 34 = 1,428 वर्ग मी।

प्र. 5. बगीचे का क्षेत्रफल 64 वर्ग मी और लंबाई 16 मी; चौड़ाई? उ. 64 ÷ 16 = 4 मी।

कक्षा/वस्तुओं का क्षेत्रफल: नोटबुक, अख़बार, श्यामपट्ट, लूडो बोर्ड की लंबाई-चौड़ाई स्वयं नापकर सूत्र लगाएँ। उदाहरण के लिए 25 सेमी × 19 सेमी की नोटबुक का क्षेत्रफल 475 वर्ग सेमी और परिमाप 88 सेमी होगा (यह केवल नमूना उत्तर है)।

खेल: पासे के अंक जितनी टाइलें जोड़ते हुए जो पहले आकृति का परिमाप 24 बनाए, वह जीतता है। ध्यान रखें: सटी हुई टाइलें परिमाप कम रखती हैं और फैली हुई टाइलें परिमाप बढ़ाती हैं।

अध्याय 12: दौड़ते सेकंड — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में बीता हुआ समय, 12-घंटे और 24-घंटे का प्रारूप, नई इकाई सेकंड (1 मिनट = 60 सेकंड) और घंटे-मिनट-सेकंड के रूपांतरण सिखाए गए हैं।

बीता हुआ समय

प्र. 4. (a) 01:15 p.m. से 01:42 p.m. = 27 मिनट (b) 03:18 p.m. से 08:18 p.m. = 5 घंटे (c) 09:15 a.m. से 11:30 a.m. = 2 घंटे 15 मिनट

प्र. 5. चित्र बनाने में लगा समय। (a) सबसे अधिक: रानी (2 घंटे 10 मिनट) (b) सबसे कम: राघव (1 घंटा 20 मिनट)

12-घंटे और 24-घंटे का प्रारूप

दोपहर 1 बजे से रात 11:59 तक के p.m. समय में 12 जोड़कर 24-घंटे का समय मिलता है।

प्र. 6. 08:35 घंटे = 08:35 a.m.; 11:55 a.m. = 11:55 घंटे; 05:30 p.m. = 17:30 घंटे; 09:35 p.m. = 21:35 घंटे

प्र. 7. मिलान। 06:30 a.m. → 06:30 घंटे; 08:45 p.m. → 20:45 घंटे; 11:45 p.m. → 23:45 घंटे; 04:30 a.m. → 04:30 घंटे; 07:30 p.m. → 19:30 घंटे; 01:30 a.m. → 01:30 घंटे

स्कूल की दौड़ — सेकंड

200 मी की दौड़ में तीनों का समय 01:55, 01:56 और 01:57 (मिनट:सेकंड) है। सबने 1 मिनट से अधिक लिया, पर जिसने 1 मिनट 55 सेकंड लिए वही विजेता है। सेकंड से समय के छोटे अंतर नापे जाते हैं।

सेकंड या मिनट? सेकंड में: पलक झपकना, बत्ती जलाना-बुझाना, 1–20 तक गिनना, नल से गिलास भरना, ज़मीन पर बैठना, एक गिलास पानी पीना, चुटकी बजाना, हाथ धोना (लगभग 20–40 सेकंड)। मिनट में: बर्फ़ का टुकड़ा पिघलना, फ़ोन कॉल करना।

घंटे और मिनट का रूपांतरण

(a) 2 घंटे = 120 मिनट; 4 घंटे = 240; 7 घंटे = 420; 8 घंटे = 480; 9 घंटे = 540; 11 घंटे = 660; 12 घंटे = 720 मिनट

(b) (i) 1 घंटा 10 मिनट = 70 मिनट (ii) 2 घंटे 45 मिनट = 165 मिनट (iii) 3 घंटे 15 मिनट = 195 मिनट (iv) 4 घंटे 20 मिनट = 260 मिनट (v) 75 मिनट = 1 घंटा 15 मिनट (vi) 150 मिनट = 2 घंटे 30 मिनट (vii) 220 मिनट = 3 घंटे 40 मिनट (viii) 390 मिनट = 6 घंटे 30 मिनट

(c) मिनट और सेकंड: 2 मिनट = 120 से; 5 मिनट = 300 से; 10 मिनट = 600 से; 15 मिनट = 900 से; 20 मिनट = 1,200 से; 25 मिनट = 1,500 से। (i) 320 से = 5 मिनट 20 से (ii) 225 से = 3 मिनट 45 से (iii) 700 से = 11 मिनट 40 से (iv) 1,000 से = 16 मिनट 40 से (v) 10 मिनट 13 से = 613 से (vi) 4 मिनट 8 से = 248 से (vii) 15 मिनट 40 से = 940 से

दैनिक जीवन के प्रश्न

1. राघव: 4 विषय × 50 मिनट = 200 मिनट = 3 घंटे 20 मिनट
2. रघु: 08:00 से 09:05 घंटे = 1 घंटा 5 मिनट
3. ज्योति: 06:15 PM + 1 घंटा 45 मिनट = 08:00 PM
4. रागिनी: 09:40 PM − 1 घंटा 10 मिनट = 08:30 PM पर शुरू किया
5. पिकनिक: 08:30 AM + 4 घंटे 10 मिनट = 12:40 PM
6. राजी: 06:00 PM + 1 घंटा 30 मिनट = 07:30 PM
7. अल्या: 05:30 PM + 1 घंटा 10 मिनट = 06:40 PM
8. लंच: 12:30 PM + 35 मिनट = 01:05 PM
9. 08:35 PM + 8 घंटे 25 मिनट = अगले दिन 05:00 AM

अध्याय 13: जानवरों की छलाँग — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में जानवरों की छलाँगों के ज़रिए गुणनखंड (factors), गुणज (multiples), उभयनिष्ठ गुणनखंड और गुणज, अभाज्य संख्याएँ तथा 2, 5 और 10 से विभाज्यता सिखाई गई है। दो या अधिक गुणनखंडों का गुणनफल गुणज होता है (3 × 5 = 15 में 3 और 5 गुणनखंड हैं, 15 गुणज)।

छिपी हुई संख्याएँ (गुणा का डिब्बा)

डिब्बे से 28, 36, 48 और 72 निकले। (a)-(b) गुणक 1, 2 या 4 हो सकता है, यानी एक से अधिक संभावनाएँ हैं; ये चारों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं। (c) गुणक 4 हो तो अंदर 7, 9, 12, 18 डाले गए; गुणक 2 हो तो 14, 18, 24, 36।

सरणी (array) से गुणनखंड

13 और 37 अभाज्य क्यों हैं? क्योंकि इनके केवल दो गुणनखंड हैं — 1 और स्वयं संख्या; इनकी केवल एक कतार वाली सरणी ही बनती है। 15 के गुणनखंड: 1, 3, 5, 15। 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (2 × 6, 3 × 4, 1 × 12)।

उभयनिष्ठ गुणज

खरगोश (4 की छलाँग) और मेंढक (3 की छलाँग) दोनों 12, 24, 36, 48 … पर पहुँचते हैं। 12 पहला उभयनिष्ठ गुणज है और बाकी सभी 12 के गुणज हैं। मकड़ी (3) और टिड्डा (6): 6, 12, 18 … (6 के सभी गुणज)। 4 और 6: 12, 24, 36, 48।

प्र. 1. 5 उभयनिष्ठ गुणज। उ. (a) 2, 3 → 6, 12, 18, 24, 30 (b) 5, 8 → 40, 80, 120, 160, 200 (c) 2, 4 → 4, 8, 12, 16, 20 (d) 3, 9 → 9, 18, 27, 36, 45 (e) 5, 10 → 10, 20, 30, 40, 50 (f) 9, 12 → 36, 72, 108, 144, 180; 8, 12 → 24, 48, 72, 96, 120 (g) 6, 8 → 24, 48, 72, 96, 120 (h) 6, 9 → 18, 36, 54, 72, 90। ध्यान दें: जब एक संख्या दूसरी का गुणज हो (जैसे 2 और 4), तो बड़ी संख्या ही पहला उभयनिष्ठ गुणज होती है।

प्र. 2. रॉबी (4 की छलाँग) और डीकू (6 की छलाँग)। उ. दोनों भोजन तक तभी पहुँचेंगे जब भोजन की संख्या 4 और 6 का उभयनिष्ठ गुणज हो (12, 24, 36 …)। डीकू की छलाँग बड़ी है, इसलिए उसे कम छलाँगें लगेंगी (जैसे 24 तक डीकू को 4 और रॉबी को 6 छलाँगें)।

प्र. 3. मोगली 2-2 की छलाँग से चींटी (4), मेंढक (12), चिड़िया (14) और खरगोश (50) से मिल सकता है, क्योंकि 2 इन सभी का उभयनिष्ठ गुणनखंड है। 3-3 की छलाँग से 9, 21, 39, 57 पर रहने वाले दोस्तों से मिलेगा। 5-5 की छलाँग से 5, 10, 15 … 55 और 10-10 की छलाँग से 10, 20, 30, 40, 50 छुएगा।

उभयनिष्ठ गुणनखंड

प्र. 4. 24 और 36। उ. (a) 2 — हाँ (b) 3 — हाँ (c) 4 — हाँ (d) 6 और 12 की छलाँग से भी (e) उभयनिष्ठ गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (कुल 6) (f) 1 की छलाँग से हर संख्या तक पहुँच सकते हैं।

प्र. 5. 12 और 13 का उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 1। प्र. 6. 10, 16, 27, 36, 48 में से 4 की छलाँग से 16, 36, 48 तक पहुँचते हैं।

प्र. 7. उभयनिष्ठ गुणनखंड। उ. (a) 12, 16 → 1, 2, 4 (b) 8, 12 → 1, 2, 4 (c) 4, 16 → 1, 2, 4 (d) 2, 9 → 1 (e) 3, 5 → 1 (f) 12, 15 → 1, 3; 20, 5 → 1, 5 (g) 9, 21 → 1, 3 (h) 6, 27 → 1, 3। 1 हर जोड़ी का उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

प्र. 8. सही (T) या गलत (F)। उ. (a) F — 6 के गुणनखंड 1 और 3 विषम हैं (b) F — 3 का गुणज 6 सम है (c) T (d) T — जैसे 4 × 5 = 20 (e) T (f) T

प्र. 9. शेर खान हर तीसरे और बघीरा हर पाँचवें दिन शिकार करते हैं, तो दोनों हर 15वें दिन (15, 30, 45 …) साथ शिकार करेंगे।

प्र. 10. (a) 30 पर पहुँचना है पर 25 से बचना है: छलाँग 30 का गुणनखंड हो पर 25 का नहीं — 2, 3, 6, 10, 15 या 30 कदम (1 और 5 से 25 पर पहुँच जाएगा)। (b) 21 और 35 दोनों के लिए 7 (या 1) कदम।

प्र. 11. केवल 2 से: 84, 22, 66, 56, 38, 78, 62। केवल 5 से: 45, 25, 95, 75, 55। 2, 5 और 10 तीनों से: 90, 30, 40। केवल 10 से: कोई नहीं, क्योंकि 10 से विभाज्य हर संख्या 2 और 5 से भी विभाज्य होती है।

अध्याय 14: मानचित्र और अवस्थितियाँ — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में चार मुख्य दिशाएँ, कमरे और गली का नक्शा पढ़ना, मेट्रो मानचित्र, ग्रिड पर दूरी और दिशा, तथा (स्तंभ, पंक्ति) के रूप में स्थिति लिखना सिखाया गया है। अधिकांश प्रश्न पुस्तक के चित्र/मानचित्र देखकर हल होते हैं, इसलिए यहाँ हल करने का तरीका और स्पष्ट उत्तर दिए गए हैं।

दिशाएँ पहचानना

प्र. मनु उगते सूरज की ओर मुँह करके खड़ा है। उ. वह पूर्व की ओर देख रहा है। उसका बायाँ हाथ उत्तर और दायाँ हाथ दक्षिण की ओर है। पश्चिम उसकी पीठ की ओर है।

क्या आप जानते हैं? पुस्तक के अनुसार साइबेरियन क्रेन बहुत ठंडे साइबेरिया से उड़कर भारत आते हैं और राजस्थान के भरतपुर पक्षी अभयारण्य में देखे गए हैं। दिशा कम्पास (दिक्सूचक) से भी पता की जाती है।

पक्षी अवलोकन शिविर, कमरे और गली का नक्शा

हल करने का तरीका: पहले मानचित्र पर दिशा तीर (N, E, S, W) देखें। संकेत के अनुसार सड़क के पश्चिम वाला तंबू नीला, झील के सबसे निकट वाला हरा, हरे के उत्तर वाला बैंगनी और झील के दक्षिण वाला पीला रंगें। कमरे के नक्शे में लड़की की जगह से खिड़की, पलंग, अलमारी और बेडसाइड टेबल की दिशा लिखें। गली के नक्शे में बस के मार्ग को उंगली से चलकर देखें कि हर मोड़ पर वह दाएँ मुड़ती है या बाएँ।

दिल्ली मेट्रो — कुतुब मीनार से सुप्रीम कोर्ट

मानचित्र पर अलग-अलग रंग की रेखाएँ अलग मेट्रो मार्ग (लाइन) दिखाती हैं। कुतुब मीनार स्टेशन येलो लाइन पर और सुप्रीम कोर्ट स्टेशन ब्लू लाइन पर है।

• लाली का सुझाव (हौज़ खास पर मैजेंटा लाइन): इस रास्ते से ब्लू लाइन पकड़ने के लिए मैजेंटा लाइन के बॉटैनिकल गार्डन स्टेशन पर फिर से लाइन बदलनी होगी।
• सबसे सरल रास्ता: येलो लाइन से राजीव चौक तक जाकर ब्लू लाइन लें (केवल एक बार लाइन बदलनी)। स्टेशनों की गिनती पुस्तक के मानचित्र पर स्वयं करके तुलना करें कि किस रास्ते में कम स्टेशन और कम बदलाव हैं।

ग्रिड पर स्थिति (चिड़ियाघर)

स्थिति लिखते समय पहले पूर्व की ओर स्तंभ गिनें, फिर उत्तर की ओर पंक्ति। पांडा (1, 1) पर है। कछुआ (4, 1) पर है: 4 कदम पूर्व चलकर चौथे स्तंभ तक, फिर 1 कदम उत्तर चलकर पहली पंक्ति तक। ध्यान रखें: (1, 4) और (4, 1) अलग-अलग जगहें हैं।

चींटी वाले ग्रिड में हर खाना 1 सेमी का है; लड्डू तक पहुँचने के लिए 2 सेमी पूर्व चलना है। बाकी वस्तुओं के लिए भी खाने गिनकर दूरी और दिशा लिखें; सबसे छोटा रास्ता वह है जिसमें कुल सेमी सबसे कम हों।

अध्याय 15: चित्रों के माध्यम से आँकड़े — हल एवं व्याख्या

इस अध्याय में आँकड़े इकट्ठा करना, तालिका बनाना, चित्रालेख (pictograph) और उसका पैमाना (scale), तथा दंड आलेख (bar graph) पढ़ना-बनाना सिखाया गया है। संख्याएँ पुस्तक के चित्रों और आलेखों में दी गई हैं, इसलिए नीचे हर प्रकार के प्रश्न को हल करने का तरीका दिया गया है।

चाइल्ड टीवी रिपोर्टर (तालिका पढ़ना)

समायरा और कबीर ने 35 मित्रों से पूछा कि वे रोज़ कितने घंटे टीवी देखते हैं। तालिका पढ़ते समय: “आधे घंटे से अधिक” के लिए 1, 1½, 2 और “2 से अधिक” वाली पंक्तियाँ जोड़ें; “2 घंटे से कम” के लिए ½, 1 और 1½ वाली पंक्तियाँ जोड़ें। सबका योग 35 होना चाहिए। लंबे समय तक टीवी देखना आँखों के लिए ठीक नहीं है।

जोसेफ चाचा की दुकान — पैमाने वाला चित्रालेख

जब वस्तुएँ बहुत अधिक हों, तो एक चित्र (आइकन) कई वस्तुओं के लिए लेते हैं। दीपेश ने 1 आइकन = 5 वस्तुएँ का पैमाना लिया। कुल वस्तुएँ = आइकनों की संख्या × 5 (जैसे 8 आइकन = 40 खिलौने)। दूसरा पैमाना भी चुन सकते हैं, जैसे 1 आइकन = 10 वस्तुएँ।

सड़क पर दुपहिया वाहन: यहाँ 1 आइकन = 3 वाहन। हर दिन के आइकन गिनकर 3 से गुणा करें; सबसे अधिक आइकन वाला दिन सबसे अधिक वाहनों का है। “कितने कम/अधिक” वाले प्रश्नों में दोनों दिनों का अंतर निकालें।

रमन और शीला की दिनचर्या — दंड आलेख

रमन ने आइकन (1 आइकन = 1 घंटा) से और शीला ने खड़े दंडों से आँकड़े दिखाए। दंड आलेख में नीचे की आधार रेखा पर गतिविधियाँ और खड़ी रेखा पर घंटे होते हैं; दंड की ऊँचाई समय बताती है। संतुलित दिनचर्या वह है जिसमें नींद, पढ़ाई, खेल और भोजन सबको उचित समय मिले।

स्कूल कैंटीन में भोजन की बर्बादी

आलेख में सोमवार से शुक्रवार तक सैंडविच, पराठा, खिचड़ी, पूरी-सब्ज़ी और इडली-सांबर की बर्बादी (किग्रा) दिखाई गई है। सबसे ऊँचा दंड = सबसे अधिक बर्बादी। कुल बर्बादी के लिए सभी दंडों के मान जोड़ें, और “1 किग्रा से 3 बच्चे” के हिसाब से कुल किग्रा × 3 = कितने बच्चे खा सकते थे। बर्बादी कम करने के लिए उतना ही लें जितना खा सकें।

सही या गलत (चित्र देखकर)

चित्र में हर बच्चे को एक-एक करके देखें और तालिका बनाएँ: लड़का/लड़की, चश्मा, टोपी, किताब, बैग। फिर हर कथन को तालिका से जाँचें।

इस गाइड का उपयोग कैसे करें

पहले संबंधित अध्याय को पुस्तक में पढ़ें और प्रश्न स्वयं हल करने की कोशिश करें। उसके बाद यहाँ दिए उत्तर से मिलान करें और जहाँ उत्तर अलग हो, वहाँ दिया गया तरीका ध्यान से पढ़ें। लंबाई, भार, धारिता और समय वाले अध्यायों में घर की वस्तुओं (बोतल, तराज़ू, घड़ी, फ़ीता) से अभ्यास कराना बहुत उपयोगी रहता है।

यह किताब क्यों महत्वपूर्ण है

गणित मेला NCERT की नई पाठ्यपुस्तक है, जो राष्ट्रीय शिक्षा नीति 2020 और राष्ट्रीय पाठ्यचर्या की रूपरेखा (NCF-SE 2023) के अनुसार तैयार की गई है। इसमें कहानियों, खेलों, पहेलियों और गतिविधियों से अवधारणाएँ विकसित की जाती हैं, इसलिए रटने के बजाय समझकर पढ़ना सबसे फ़ायदेमंद रहता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्र. कक्षा 5 गणित मेला में कितने अध्याय हैं?
उ. कुल 15 अध्याय हैं — “हम हैं यात्री – 1” से “चित्रों के माध्यम से आँकड़े” तक।

प्र. क्या ये हल NCERT की पुस्तक के अनुसार हैं?
उ. हाँ, सभी प्रश्न आधिकारिक NCERT पाठ्यपुस्तक से लिए गए हैं और गणनाएँ दोबारा जाँची गई हैं।

प्र. क्या यह पुस्तक निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है?
उ. हाँ, NCERT की सभी पाठ्यपुस्तकें आधिकारिक रूप से निःशुल्क हैं; लिंक नीचे दिए गए पेज पर मिलेंगे।

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Written by Satish

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